Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 44032 / 11264
↖ ↑ ↗
← N 75.497157°
E 61.875000°		 ← 152.97 m → N 75.497157°
E 61.880493°		 →
↑
152.97 m
↓
↑
152.97 m
↓
N 75.495782°
E 61.875000°		 ← 152.99 m →
23 401 m²		 N 75.495782°
E 61.880493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.671882629394531 y=0.171882629394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.671882629394531 × 216)
    floor (0.671882629394531 × 65536)
    floor (44032.5)     		tx = 44032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171882629394531 × 216)
    floor (0.171882629394531 × 65536)
    floor (11264.5)     		ty = 11264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 44032 / 11264 ti = "16/44032/11264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/44032/11264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44032 ÷ 216
    44032 ÷ 65536     		x = 0.671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11264 ÷ 216
    11264 ÷ 65536     		y = 0.171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.671875 × 2 - 1) × π
    0.34375 × 3.1415926535     		Λ = 1.07992247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171875 × 2 - 1) × π
    0.65625 × 3.1415926535     		Φ = 2.06167017885938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.07992247} λ = 1.07992247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06167017885938))-π/2
    2×atan(7.85908493247811)-π/2
    2×1.44423514894581-π/2
    2.88847029789162-1.57079632675     		φ = 1.31767397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.07992247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 61.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31767397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.497157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44032 KachelY 11264 1.07992247 1.31767397 61.875000 75.497157
    Oben rechts KachelX + 1 44033 KachelY 11264 1.08001835 1.31767397 61.880493 75.497157
    Unten links KachelX 44032 KachelY + 1 11265 1.07992247 1.31764996 61.875000 75.495782
    Unten rechts KachelX + 1 44033 KachelY + 1 11265 1.08001835 1.31764996 61.880493 75.495782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31767397-1.31764996) × R
    2.40099999999632e-05 × 6371000     		dl = 152.967709999766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31767397-1.31764996) × R
    2.40099999999632e-05 × 6371000     		dr = 152.967709999766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.07992247-1.08001835) × cos(1.31767397) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.250428038638996 × 6371000     		do = 152.974338036027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.07992247-1.08001835) × cos(1.31764996) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.250451283493359 × 6371000     		du = 152.988537189717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31767397)-sin(1.31764996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250428038638996-0.250451283493359)×R²
    abs(1.08001835-1.07992247)×2.32448543629471e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.32448543629471e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.32448543629471e-05×40589641000000     		ar = 23401.2201851886m²