Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 44096 / 11328
↖ ↑ ↗
← N 75.408854°
E 62.226563°		 ← 153.87 m → N 75.408854°
E 62.232056°		 →
↑
153.86 m
↓
↑
153.86 m
↓
N 75.407470°
E 62.226563°		 ← 153.88 m →
23 675 m²		 N 75.407470°
E 62.232056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.672859191894531 y=0.172859191894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.672859191894531 × 216)
    floor (0.672859191894531 × 65536)
    floor (44096.5)     		tx = 44096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172859191894531 × 216)
    floor (0.172859191894531 × 65536)
    floor (11328.5)     		ty = 11328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 44096 / 11328 ti = "16/44096/11328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/44096/11328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44096 ÷ 216
    44096 ÷ 65536     		x = 0.6728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11328 ÷ 216
    11328 ÷ 65536     		y = 0.1728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6728515625 × 2 - 1) × π
    0.345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.08605840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1728515625 × 2 - 1) × π
    0.654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.05553425570801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.08605840} λ = 1.08605840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05553425570801))-π/2
    2×atan(7.81100983467888)-π/2
    2×1.44346455911163-π/2
    2.88692911822325-1.57079632675     		φ = 1.31613279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.08605840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 62.226563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31613279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.408854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44096 KachelY 11328 1.08605840 1.31613279 62.226563 75.408854
    Oben rechts KachelX + 1 44097 KachelY 11328 1.08615427 1.31613279 62.232056 75.408854
    Unten links KachelX 44096 KachelY + 1 11329 1.08605840 1.31610864 62.226563 75.407470
    Unten rechts KachelX + 1 44097 KachelY + 1 11329 1.08615427 1.31610864 62.232056 75.407470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31613279-1.31610864) × R
    2.41500000000006e-05 × 6371000     		dl = 153.859650000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31613279-1.31610864) × R
    2.41500000000006e-05 × 6371000     		dr = 153.859650000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.08605840-1.08615427) × cos(1.31613279) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.251919811268558 × 6371000     		do = 153.86953974354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.08605840-1.08615427) × cos(1.31610864) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.251943182312003 × 6371000     		du = 153.883814491049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31613279)-sin(1.31610864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251919811268558-0.251943182312003)×R²
    abs(1.08615427-1.08605840)×2.33710434450196e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.33710434450196e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.33710434450196e-05×40589641000000     		ar = 23675.4116853955m²