Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 448 / 192
↖ ↑ ↗
← N 40.979898°
E135.000000°		 ← 59.024 km → N 40.979898°
E135.703125°		 →
↑
59.261 km
↓
↑
59.261 km
↓
N 40.446947°
E135.000000°		 ← 59.499 km →
3 511.94 km²		 N 40.446947°
E135.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8759765625 y=0.3759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8759765625 × 29)
    floor (0.8759765625 × 512)
    floor (448.5)     		tx = 448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3759765625 × 29)
    floor (0.3759765625 × 512)
    floor (192.5)     		ty = 192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 448 / 192 ti = "9/448/192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/448/192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 448 ÷ 29
    448 ÷ 512     		x = 0.875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 192 ÷ 29
    192 ÷ 512     		y = 0.375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875 × 2 - 1) × π
    0.75 × 3.1415926535     		Λ = 2.35619449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375 × 2 - 1) × π
    0.25 × 3.1415926535     		Φ = 0.785398163375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35619449} λ = 2.35619449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.785398163375))-π/2
    2×atan(2.19328005068878)-π/2
    2×1.14301523761224-π/2
    2.28603047522449-1.57079632675     		φ = 0.71523415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35619449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71523415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.979898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 448 KachelY 192 2.35619449 0.71523415 135.000000 40.979898
    Oben rechts KachelX + 1 449 KachelY 192 2.36846634 0.71523415 135.703125 40.979898
    Unten links KachelX 448 KachelY + 1 193 2.35619449 0.70593240 135.000000 40.446947
    Unten rechts KachelX + 1 449 KachelY + 1 193 2.36846634 0.70593240 135.703125 40.446947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71523415-0.70593240) × R
    0.00930175 × 6371000     		dl = 59261.44925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71523415-0.70593240) × R
    0.00930175 × 6371000     		dr = 59261.44925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35619449-2.36846634) × cos(0.71523415) × R
    0.0122718499999999 × 0.754939707695381 × 6371000     		do = 59024.1731533368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35619449-2.36846634) × cos(0.70593240) × R
    0.0122718499999999 × 0.76100699404595 × 6371000     		du = 59498.5376045326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71523415)-sin(0.70593240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754939707695381-0.76100699404595)×R²
    abs(2.36846634-2.35619449)×0.00606728635056908×R²
    0.0122718499999999×0.00606728635056908×6371000²
    0.0122718499999999×0.00606728635056908×40589641000000     		ar = 3511939126.13978m²