Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 448 / 832
↖ ↑ ↗
← N 31.952162°
W101.250000°		 ← 16.585 km → N 31.952162°
W101.074219°		 →
↑
16.598 km
↓
↑
16.598 km
↓
N 31.802893°
W101.250000°		 ← 16.611 km →
275.494 km²		 N 31.802893°
W101.074219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218994140625 y=0.406494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218994140625 × 211)
    floor (0.218994140625 × 2048)
    floor (448.5)     		tx = 448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406494140625 × 211)
    floor (0.406494140625 × 2048)
    floor (832.5)     		ty = 832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 448 / 832 ti = "11/448/832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/448/832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 448 ÷ 211
    448 ÷ 2048     		x = 0.21875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 832 ÷ 211
    832 ÷ 2048     		y = 0.40625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21875 × 2 - 1) × π
    -0.5625 × 3.1415926535     		Λ = -1.76714587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40625 × 2 - 1) × π
    0.1875 × 3.1415926535     		Φ = 0.58904862253125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76714587} λ = -1.76714587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58904862253125))-π/2
    2×atan(1.80227295761889)-π/2
    2×1.06423338048277-π/2
    2.12846676096555-1.57079632675     		φ = 0.55767043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76714587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55767043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.952162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 448 KachelY 832 -1.76714587 0.55767043 -101.250000 31.952162
    Oben rechts KachelX + 1 449 KachelY 832 -1.76407791 0.55767043 -101.074219 31.952162
    Unten links KachelX 448 KachelY + 1 833 -1.76714587 0.55506519 -101.250000 31.802893
    Unten rechts KachelX + 1 449 KachelY + 1 833 -1.76407791 0.55506519 -101.074219 31.802893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55767043-0.55506519) × R
    0.00260524000000006 × 6371000     		dl = 16597.9840400004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55767043-0.55506519) × R
    0.00260524000000006 × 6371000     		dr = 16597.9840400004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76714587--1.76407791) × cos(0.55767043) × R
    0.00306796000000009 × 0.848490246343458 × 6371000     		do = 16584.5675815515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76714587--1.76407791) × cos(0.55506519) × R
    0.00306796000000009 × 0.849866087030189 × 6371000     		du = 16611.4597266868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55767043)-sin(0.55506519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848490246343458-0.849866087030189)×R²
    abs(-1.76407791--1.76714587)×0.00137584068673113×R²
    0.00306796000000009×0.00137584068673113×6371000²
    0.00306796000000009×0.00137584068673113×40589641000000     		ar = 275493721.547775m²