Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 449 / 191
↖ ↑ ↗
← N 41.508577°
E135.703125°		 ← 58.549 km → N 41.508577°
E136.406250°		 →
↑
58.786 km
↓
↑
58.786 km
↓
N 40.979898°
E135.703125°		 ← 59.024 km →
3 455.86 km²		 N 40.979898°
E136.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8779296875 y=0.3740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8779296875 × 29)
    floor (0.8779296875 × 512)
    floor (449.5)     		tx = 449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3740234375 × 29)
    floor (0.3740234375 × 512)
    floor (191.5)     		ty = 191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 449 / 191 ti = "9/449/191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/449/191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 449 ÷ 29
    449 ÷ 512     		x = 0.876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 191 ÷ 29
    191 ÷ 512     		y = 0.373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.876953125 × 2 - 1) × π
    0.75390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.36846634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.373046875 × 2 - 1) × π
    0.25390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.797670009677734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36846634} λ = 2.36846634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.797670009677734))-π/2
    2×atan(2.22036147604752)-π/2
    2×1.14762883421835-π/2
    2.29525766843671-1.57079632675     		φ = 0.72446134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36846634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72446134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.508577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 449 KachelY 191 2.36846634 0.72446134 135.703125 41.508577
    Oben rechts KachelX + 1 450 KachelY 191 2.38073818 0.72446134 136.406250 41.508577
    Unten links KachelX 449 KachelY + 1 192 2.36846634 0.71523415 135.703125 40.979898
    Unten rechts KachelX + 1 450 KachelY + 1 192 2.38073818 0.71523415 136.406250 40.979898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72446134-0.71523415) × R
    0.00922718999999994 × 6371000     		dl = 58786.4274899996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72446134-0.71523415) × R
    0.00922718999999994 × 6371000     		dr = 58786.4274899996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36846634-2.38073818) × cos(0.72446134) × R
    0.0122718399999999 × 0.748856517896165 × 6371000     		do = 58548.5175979576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36846634-2.38073818) × cos(0.71523415) × R
    0.0122718399999999 × 0.754939707695381 × 6371000     		du = 59024.1250561283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72446134)-sin(0.71523415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748856517896165-0.754939707695381)×R²
    abs(2.38073818-2.36846634)×0.00608318979921585×R²
    0.0122718399999999×0.00608318979921585×6371000²
    0.0122718399999999×0.00608318979921585×40589641000000     		ar = 3455862335.77226m²