Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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9 / 449 / 449
↖ ↑ ↗
← S 79.302640°
E135.703125°		 ← 14.513 km → S 79.302640°
E136.406250°		 →
↑
14.425 km
↓
↑
14.425 km
↓
S 79.432371°
E135.703125°		 ← 14.339 km →
208.095 km²		 S 79.432371°
E136.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8779296875 y=0.8779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8779296875 × 29)
    floor (0.8779296875 × 512)
    floor (449.5)     		tx = 449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8779296875 × 29)
    floor (0.8779296875 × 512)
    floor (449.5)     		ty = 449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 449 / 449 ti = "9/449/449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/449/449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 449 ÷ 29
    449 ÷ 512     		x = 0.876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 449 ÷ 29
    449 ÷ 512     		y = 0.876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.876953125 × 2 - 1) × π
    0.75390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.36846634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876953125 × 2 - 1) × π
    -0.75390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.36846633642773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36846634} λ = 2.36846634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36846633642773))-π/2
    2×atan(0.0936242042580125)-π/2
    2×0.0933520799532962-π/2
    0.186704159906592-1.57079632675     		φ = -1.38409217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36846634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38409217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.302640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 449 KachelY 449 2.36846634 -1.38409217 135.703125 -79.302640
    Oben rechts KachelX + 1 450 KachelY 449 2.38073818 -1.38409217 136.406250 -79.302640
    Unten links KachelX 449 KachelY + 1 450 2.36846634 -1.38635640 135.703125 -79.432371
    Unten rechts KachelX + 1 450 KachelY + 1 450 2.38073818 -1.38635640 136.406250 -79.432371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38409217--1.38635640) × R
    0.00226422999999998 × 6371000     		dl = 14425.4093299999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38409217--1.38635640) × R
    0.00226422999999998 × 6371000     		dr = 14425.4093299999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36846634-2.38073818) × cos(-1.38409217) × R
    0.0122718399999999 × 0.18562134310359 × 6371000     		do = 14512.5991609036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36846634-2.38073818) × cos(-1.38635640) × R
    0.0122718399999999 × 0.183395988450163 × 6371000     		du = 14338.6122715941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38409217)-sin(-1.38635640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18562134310359-0.183395988450163)×R²
    abs(2.38073818-2.36846634)×0.00222535465342785×R²
    0.0122718399999999×0.00222535465342785×6371000²
    0.0122718399999999×0.00222535465342785×40589641000000     		ar = 208095356.194265m²