Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
6 / 45 / 7
↖ ↑ ↗
← N 80.178713°
E 73.125000°		 ← 106.690 km → N 80.178713°
E 78.750000°		 →
↑
112.015 km
↓
↑
112.015 km
↓
N 79.171334°
E 73.125000°		 ← 117.509 km →
12 557.2 km²		 N 79.171334°
E 78.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 6 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7109375 y=0.1171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=6 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7109375 × 26)
    floor (0.7109375 × 64)
    floor (45.5)     		tx = 45
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1171875 × 26)
    floor (0.1171875 × 64)
    floor (7.5)     		ty = 7
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 6 / 45 / 7 ti = "6/45/7"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/6/45/7.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45 ÷ 26
    45 ÷ 64     		x = 0.703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7 ÷ 26
    7 ÷ 64     		y = 0.109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.703125 × 2 - 1) × π
    0.40625 × 3.1415926535     		Λ = 1.27627202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109375 × 2 - 1) × π
    0.78125 × 3.1415926535     		Φ = 2.45436926054687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.27627202} λ = 1.27627202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45436926054687))-π/2
    2×atan(11.6390899999285)-π/2
    2×1.48508943365266-π/2
    2.97017886730533-1.57079632675     		φ = 1.39938254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.27627202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 73.125000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39938254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.178713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45 KachelY 7 1.27627202 1.39938254 73.125000 80.178713
    Oben rechts KachelX + 1 46 KachelY 7 1.37444679 1.39938254 78.750000 80.178713
    Unten links KachelX 45 KachelY + 1 8 1.27627202 1.38180046 73.125000 79.171334
    Unten rechts KachelX + 1 46 KachelY + 1 8 1.37444679 1.38180046 78.750000 79.171334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39938254-1.38180046) × R
    0.0175820799999999 × 6371000     		dl = 112015.43168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39938254-1.38180046) × R
    0.0175820799999999 × 6371000     		dr = 112015.43168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.27627202-1.37444679) × cos(1.39938254) × R
    0.09817477 × 0.170575586251288 × 6371000     		do = 106690.160916659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.27627202-1.37444679) × cos(1.38180046) × R
    0.09817477 × 0.187872736870527 × 6371000     		du = 117509.034962606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39938254)-sin(1.38180046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170575586251288-0.187872736870527)×R²
    abs(1.37444679-1.27627202)×0.0172971506192396×R²
    0.09817477×0.0172971506192396×6371000²
    0.09817477×0.0172971506192396×40589641000000     		ar = 12557208339.6954m²