Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 45 / 75
↖ ↑ ↗
← S 29.535229°
W 53.437500°		 ← 272.097 km → S 29.535229°
W 50.625000°		 →
↑
268.751 km
↓
↑
268.751 km
↓
S 31.952162°
W 53.437500°		 ← 265.353 km →
72 230.7 km²		 S 31.952162°
W 50.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.35546875 y=0.58984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.35546875 × 27)
    floor (0.35546875 × 128)
    floor (45.5)     		tx = 45
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58984375 × 27)
    floor (0.58984375 × 128)
    floor (75.5)     		ty = 75
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 45 / 75 ti = "7/45/75"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/45/75.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45 ÷ 27
    45 ÷ 128     		x = 0.3515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75 ÷ 27
    75 ÷ 128     		y = 0.5859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3515625 × 2 - 1) × π
    -0.296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.93266032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5859375 × 2 - 1) × π
    -0.171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.539961237320313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.93266032} λ = -0.93266032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.539961237320313))-π/2
    2×atan(0.582770841695643)-π/2
    2×0.527654662801254-π/2
    1.05530932560251-1.57079632675     		φ = -0.51548700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.93266032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -53.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51548700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.535229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45 KachelY 75 -0.93266032 -0.51548700 -53.437500 -29.535229
    Oben rechts KachelX + 1 46 KachelY 75 -0.88357293 -0.51548700 -50.625000 -29.535229
    Unten links KachelX 45 KachelY + 1 76 -0.93266032 -0.55767043 -53.437500 -31.952162
    Unten rechts KachelX + 1 46 KachelY + 1 76 -0.88357293 -0.55767043 -50.625000 -31.952162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51548700--0.55767043) × R
    0.04218343 × 6371000     		dl = 268750.63253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51548700--0.55767043) × R
    0.04218343 × 6371000     		dr = 268750.63253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.93266032--0.88357293) × cos(-0.51548700) × R
    0.04908739 × 0.870052754632841 × 6371000     		do = 272096.610930584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.93266032--0.88357293) × cos(-0.55767043) × R
    0.04908739 × 0.848490246343458 × 6371000     		du = 265353.243476757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51548700)-sin(-0.55767043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870052754632841-0.848490246343458)×R²
    abs(-0.88357293--0.93266032)×0.0215625082893828×R²
    0.04908739×0.0215625082893828×6371000²
    0.04908739×0.0215625082893828×40589641000000     		ar = 72230705341.3934m²