Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 45 / 77
↖ ↑ ↗
← S 34.307144°
W 53.437500°		 ← 258.329 km → S 34.307144°
W 50.625000°		 →
↑
254.719 km
↓
↑
254.719 km
↓
S 36.597889°
W 53.437500°		 ← 251.077 km →
64 886.3 km²		 S 36.597889°
W 50.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.35546875 y=0.60546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.35546875 × 27)
    floor (0.35546875 × 128)
    floor (45.5)     		tx = 45
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.60546875 × 27)
    floor (0.60546875 × 128)
    floor (77.5)     		ty = 77
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 45 / 77 ti = "7/45/77"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/45/77.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45 ÷ 27
    45 ÷ 128     		x = 0.3515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77 ÷ 27
    77 ÷ 128     		y = 0.6015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3515625 × 2 - 1) × π
    -0.296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.93266032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6015625 × 2 - 1) × π
    -0.203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.638136007742187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.93266032} λ = -0.93266032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.638136007742187))-π/2
    2×atan(0.52827620963859)-π/2
    2×0.486011854781196-π/2
    0.972023709562392-1.57079632675     		φ = -0.59877262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.93266032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -53.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59877262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.307144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45 KachelY 77 -0.93266032 -0.59877262 -53.437500 -34.307144
    Oben rechts KachelX + 1 46 KachelY 77 -0.88357293 -0.59877262 -50.625000 -34.307144
    Unten links KachelX 45 KachelY + 1 78 -0.93266032 -0.63875366 -53.437500 -36.597889
    Unten rechts KachelX + 1 46 KachelY + 1 78 -0.88357293 -0.63875366 -50.625000 -36.597889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59877262--0.63875366) × R
    0.03998104 × 6371000     		dl = 254719.20584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59877262--0.63875366) × R
    0.03998104 × 6371000     		dr = 254719.20584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.93266032--0.88357293) × cos(-0.59877262) × R
    0.04908739 × 0.826028023946516 × 6371000     		do = 258328.503246199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.93266032--0.88357293) × cos(-0.63875366) × R
    0.04908739 × 0.802839443284969 × 6371000     		du = 251076.6048105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59877262)-sin(-0.63875366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.826028023946516-0.802839443284969)×R²
    abs(-0.88357293--0.93266032)×0.0231885806615469×R²
    0.04908739×0.0231885806615469×6371000²
    0.04908739×0.0231885806615469×40589641000000     		ar = 64886275821.5608m²