Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 450 / 194
↖ ↑ ↗
← N 39.909736°
E136.406250°		 ← 59.971 km → N 39.909736°
E137.109375°		 →
↑
60.207 km
↓
↑
60.207 km
↓
N 39.368279°
E136.406250°		 ← 60.443 km →
3 624.94 km²		 N 39.368279°
E137.109375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8798828125 y=0.3798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8798828125 × 29)
    floor (0.8798828125 × 512)
    floor (450.5)     		tx = 450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3798828125 × 29)
    floor (0.3798828125 × 512)
    floor (194.5)     		ty = 194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 450 / 194 ti = "9/450/194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/450/194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 450 ÷ 29
    450 ÷ 512     		x = 0.87890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 194 ÷ 29
    194 ÷ 512     		y = 0.37890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87890625 × 2 - 1) × π
    0.7578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.38073818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37890625 × 2 - 1) × π
    0.2421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.760854470769531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.38073818} λ = 2.38073818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.760854470769531))-π/2
    2×atan(2.14010409584623)-π/2
    2×1.13367631383669-π/2
    2.26735262767337-1.57079632675     		φ = 0.69655630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.38073818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 136.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69655630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.909736°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 450 KachelY 194 2.38073818 0.69655630 136.406250 39.909736
    Oben rechts KachelX + 1 451 KachelY 194 2.39301003 0.69655630 137.109375 39.909736
    Unten links KachelX 450 KachelY + 1 195 2.38073818 0.68710609 136.406250 39.368279
    Unten rechts KachelX + 1 451 KachelY + 1 195 2.39301003 0.68710609 137.109375 39.368279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69655630-0.68710609) × R
    0.00945021000000001 × 6371000     		dl = 60207.2879100001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69655630-0.68710609) × R
    0.00945021000000001 × 6371000     		dr = 60207.2879100001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.38073818-2.39301003) × cos(0.69655630) × R
    0.0122718500000003 × 0.767056140195237 × 6371000     		do = 59971.4837830254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.38073818-2.39301003) × cos(0.68710609) × R
    0.0122718500000003 × 0.773084864262395 × 6371000     		du = 60442.8332823383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69655630)-sin(0.68710609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767056140195237-0.773084864262395)×R²
    abs(2.39301003-2.38073818)×0.00602872406715838×R²
    0.0122718500000003×0.00602872406715838×6371000²
    0.0122718500000003×0.00602872406715838×40589641000000     		ar = 3624936705.58515m²