Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45040 / 12272
↖ ↑ ↗
← N 74.043723°
E 67.412109°		 ← 167.93 m → N 74.043723°
E 67.417603°		 →
↑
167.94 m
↓
↑
167.94 m
↓
N 74.042212°
E 67.412109°		 ← 167.94 m →
28 203 m²		 N 74.042212°
E 67.417603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687263488769531 y=0.187263488769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687263488769531 × 216)
    floor (0.687263488769531 × 65536)
    floor (45040.5)     		tx = 45040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187263488769531 × 216)
    floor (0.187263488769531 × 65536)
    floor (12272.5)     		ty = 12272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45040 / 12272 ti = "16/45040/12272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45040/12272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45040 ÷ 216
    45040 ÷ 65536     		x = 0.687255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12272 ÷ 216
    12272 ÷ 65536     		y = 0.187255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687255859375 × 2 - 1) × π
    0.37451171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17656326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187255859375 × 2 - 1) × π
    0.62548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.96502938922534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17656326} λ = 1.17656326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96502938922534))-π/2
    2×atan(7.13512228279368)-π/2
    2×1.4315515382751-π/2
    2.8631030765502-1.57079632675     		φ = 1.29230675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17656326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.412109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29230675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.043723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45040 KachelY 12272 1.17656326 1.29230675 67.412109 74.043723
    Oben rechts KachelX + 1 45041 KachelY 12272 1.17665914 1.29230675 67.417603 74.043723
    Unten links KachelX 45040 KachelY + 1 12273 1.17656326 1.29228039 67.412109 74.042212
    Unten rechts KachelX + 1 45041 KachelY + 1 12273 1.17665914 1.29228039 67.417603 74.042212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29230675-1.29228039) × R
    2.63600000001141e-05 × 6371000     		dl = 167.939560000727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29230675-1.29228039) × R
    2.63600000001141e-05 × 6371000     		dr = 167.939560000727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17656326-1.17665914) × cos(1.29230675) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.274903733444816 × 6371000     		do = 167.925352432181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17656326-1.17665914) × cos(1.29228039) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.274929077744789 × 6371000     		du = 167.940834035329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29230675)-sin(1.29228039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.274903733444816-0.274929077744789)×R²
    abs(1.17665914-1.17656326)×2.53442999735287e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.53442999735287e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.53442999735287e-05×40589641000000     		ar = 28202.6097888349m²