Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 45048 / 12280
↖ ↑ ↗
← N 74.031637°
E 67.456054°		 ← 168.05 m → N 74.031637°
E 67.461548°		 →
↑
168 m
↓
↑
168 m
↓
N 74.030126°
E 67.456054°		 ← 168.06 m →
28 234 m²		 N 74.030126°
E 67.461548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687385559082031 y=0.187385559082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687385559082031 × 216)
    floor (0.687385559082031 × 65536)
    floor (45048.5)     		tx = 45048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187385559082031 × 216)
    floor (0.187385559082031 × 65536)
    floor (12280.5)     		ty = 12280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45048 / 12280 ti = "16/45048/12280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45048/12280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45048 ÷ 216
    45048 ÷ 65536     		x = 0.6873779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12280 ÷ 216
    12280 ÷ 65536     		y = 0.1873779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6873779296875 × 2 - 1) × π
    0.374755859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17733025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1873779296875 × 2 - 1) × π
    0.625244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.96426239883142
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17733025} λ = 1.17733025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96426239883142))-π/2
    2×atan(7.12965181071128)-π/2
    2×1.43144607513282-π/2
    2.86289215026564-1.57079632675     		φ = 1.29209582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17733025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.456054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29209582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.031637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45048 KachelY 12280 1.17733025 1.29209582 67.456054 74.031637
    Oben rechts KachelX + 1 45049 KachelY 12280 1.17742613 1.29209582 67.461548 74.031637
    Unten links KachelX 45048 KachelY + 1 12281 1.17733025 1.29206945 67.456054 74.030126
    Unten rechts KachelX + 1 45049 KachelY + 1 12281 1.17742613 1.29206945 67.461548 74.030126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29209582-1.29206945) × R
    2.63699999998313e-05 × 6371000     		dl = 168.003269998925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29209582-1.29206945) × R
    2.63699999998313e-05 × 6371000     		dr = 168.003269998925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17733025-1.17742613) × cos(1.29209582) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.275106530565343 × 6371000     		do = 168.049231353395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17733025-1.17742613) × cos(1.29206945) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.275131882950251 × 6371000     		du = 168.064717895237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29209582)-sin(1.29206945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275106530565343-0.275131882950251)×R²
    abs(1.17742613-1.17733025)×2.53523849076953e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.53523849076953e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.53523849076953e-05×40589641000000     		ar = 28234.1212848663m²