Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45055 / 20479
↖ ↑ ↗
← N 55.779662°
E 67.494507°		 ← 343.53 m → N 55.779662°
E 67.500000°		 →
↑
343.52 m
↓
↑
343.52 m
↓
N 55.776573°
E 67.494507°		 ← 343.56 m →
118 015 m²		 N 55.776573°
E 67.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687492370605469 y=0.312492370605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687492370605469 × 216)
    floor (0.687492370605469 × 65536)
    floor (45055.5)     		tx = 45055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312492370605469 × 216)
    floor (0.312492370605469 × 65536)
    floor (20479.5)     		ty = 20479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45055 / 20479 ti = "16/45055/20479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45055/20479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45055 ÷ 216
    45055 ÷ 65536     		x = 0.687484741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20479 ÷ 216
    20479 ÷ 65536     		y = 0.312484741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687484741210938 × 2 - 1) × π
    0.374969482421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17800137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312484741210938 × 2 - 1) × π
    0.375030517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.17819311886174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17800137} λ = 1.17800137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17819311886174))-π/2
    2×atan(3.2484992447995)-π/2
    2×1.27216754539002-π/2
    2.54433509078005-1.57079632675     		φ = 0.97353876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17800137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.494507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97353876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.779662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45055 KachelY 20479 1.17800137 0.97353876 67.494507 55.779662
    Oben rechts KachelX + 1 45056 KachelY 20479 1.17809725 0.97353876 67.500000 55.779662
    Unten links KachelX 45055 KachelY + 1 20480 1.17800137 0.97348484 67.494507 55.776573
    Unten rechts KachelX + 1 45056 KachelY + 1 20480 1.17809725 0.97348484 67.500000 55.776573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97353876-0.97348484) × R
    5.39199999999296e-05 × 6371000     		dl = 343.524319999551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97353876-0.97348484) × R
    5.39199999999296e-05 × 6371000     		dr = 343.524319999551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17800137-1.17809725) × cos(0.97353876) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.562376925116817 × 6371000     		do = 343.528777025232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17800137-1.17809725) × cos(0.97348484) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.562421509722991 × 6371000     		du = 343.556011597898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97353876)-sin(0.97348484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562376925116817-0.562421509722991)×R²
    abs(1.17809725-1.17800137)×4.45846061739585e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.45846061739585e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.45846061739585e-05×40589641000000     		ar = 118015.167425716m²