Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45055 / 61439
↖ ↑ ↗
← S 82.675584°
E 67.494507°		 ← 77.88 m → S 82.675584°
E 67.500000°		 →
↑
77.92 m
↓
↑
77.92 m
↓
S 82.676285°
E 67.494507°		 ← 77.87 m →
6 068 m²		 S 82.676285°
E 67.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687492370605469 y=0.937492370605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687492370605469 × 216)
    floor (0.687492370605469 × 65536)
    floor (45055.5)     		tx = 45055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.937492370605469 × 216)
    floor (0.937492370605469 × 65536)
    floor (61439.5)     		ty = 61439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45055 / 61439 ti = "16/45055/61439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45055/61439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45055 ÷ 216
    45055 ÷ 65536     		x = 0.687484741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61439 ÷ 216
    61439 ÷ 65536     		y = 0.937484741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687484741210938 × 2 - 1) × π
    0.374969482421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17800137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.937484741210938 × 2 - 1) × π
    -0.874969482421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.74879769801326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17800137} λ = 1.17800137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.74879769801326))-π/2
    2×atan(0.0640047680245902)-π/2
    2×0.0639175813617201-π/2
    0.12783516272344-1.57079632675     		φ = -1.44296116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17800137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.494507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44296116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.675584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45055 KachelY 61439 1.17800137 -1.44296116 67.494507 -82.675584
    Oben rechts KachelX + 1 45056 KachelY 61439 1.17809725 -1.44296116 67.500000 -82.675584
    Unten links KachelX 45055 KachelY + 1 61440 1.17800137 -1.44297339 67.494507 -82.676285
    Unten rechts KachelX + 1 45056 KachelY + 1 61440 1.17809725 -1.44297339 67.500000 -82.676285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44296116--1.44297339) × R
    1.22299999998354e-05 × 6371000     		dl = 77.9173299989515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44296116--1.44297339) × R
    1.22299999998354e-05 × 6371000     		dr = 77.9173299989515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17800137-1.17809725) × cos(-1.44296116) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.127487274418646 × 6371000     		do = 77.8757902597447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17800137-1.17809725) × cos(-1.44297339) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.127475144203388 × 6371000     		du = 77.8683804998022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44296116)-sin(-1.44297339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127487274418646-0.127475144203388)×R²
    abs(1.17809725-1.17800137)×1.2130215257089e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.2130215257089e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.2130215257089e-05×40589641000000     		ar = 6067.58497419393m²