Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45056 / 12288
↖ ↑ ↗
← N 74.019543°
E 67.500000°		 ← 168.16 m → N 74.019543°
E 67.505493°		 →
↑
168.13 m
↓
↑
168.13 m
↓
N 74.018031°
E 67.500000°		 ← 168.17 m →
28 273 m²		 N 74.018031°
E 67.505493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687507629394531 y=0.187507629394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687507629394531 × 216)
    floor (0.687507629394531 × 65536)
    floor (45056.5)     		tx = 45056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187507629394531 × 216)
    floor (0.187507629394531 × 65536)
    floor (12288.5)     		ty = 12288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45056 / 12288 ti = "16/45056/12288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45056/12288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45056 ÷ 216
    45056 ÷ 65536     		x = 0.6875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12288 ÷ 216
    12288 ÷ 65536     		y = 0.1875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6875 × 2 - 1) × π
    0.375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17809725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1875 × 2 - 1) × π
    0.625 × 3.1415926535     		Φ = 1.9634954084375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17809725} λ = 1.17809725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9634954084375))-π/2
    2×atan(7.12418553281975)-π/2
    2×1.43134053419385-π/2
    2.86268106838771-1.57079632675     		φ = 1.29188474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17809725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29188474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.019543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45056 KachelY 12288 1.17809725 1.29188474 67.500000 74.019543
    Oben rechts KachelX + 1 45057 KachelY 12288 1.17819312 1.29188474 67.505493 74.019543
    Unten links KachelX 45056 KachelY + 1 12289 1.17809725 1.29185835 67.500000 74.018031
    Unten rechts KachelX + 1 45057 KachelY + 1 12289 1.17819312 1.29185835 67.505493 74.018031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29188474-1.29185835) × R
    2.63899999999317e-05 × 6371000     		dl = 168.130689999565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29188474-1.29185835) × R
    2.63899999999317e-05 × 6371000     		dr = 168.130689999565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17809725-1.17819312) × cos(1.29188474) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.275309459649329 × 6371000     		do = 168.155650919115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17809725-1.17819312) × cos(1.29185835) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.275334829729277 × 6371000     		du = 168.171146653671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29188474)-sin(1.29185835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275309459649329-0.275334829729277)×R²
    abs(1.17819312-1.17809725)×2.53700799479617e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.53700799479617e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.53700799479617e-05×40589641000000     		ar = 28273.4282722749m²