Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45057 / 28671
↖ ↑ ↗
← N 21.948141°
E 67.505493°		 ← 566.52 m → N 21.948141°
E 67.510986°		 →
↑
566.57 m
↓
↑
566.57 m
↓
N 21.943045°
E 67.505493°		 ← 566.54 m →
320 980 m²		 N 21.943045°
E 67.510986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687522888183594 y=0.437492370605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687522888183594 × 216)
    floor (0.687522888183594 × 65536)
    floor (45057.5)     		tx = 45057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437492370605469 × 216)
    floor (0.437492370605469 × 65536)
    floor (28671.5)     		ty = 28671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45057 / 28671 ti = "16/45057/28671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45057/28671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45057 ÷ 216
    45057 ÷ 65536     		x = 0.687515258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28671 ÷ 216
    28671 ÷ 65536     		y = 0.437484741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687515258789062 × 2 - 1) × π
    0.375030517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.17819312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437484741210938 × 2 - 1) × π
    0.125030517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.39279495548674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17819312} λ = 1.17819312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.39279495548674))-π/2
    2×atan(1.48111466375639)-π/2
    2×0.97693182298037-π/2
    1.95386364596074-1.57079632675     		φ = 0.38306732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17819312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.505493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38306732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.948141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45057 KachelY 28671 1.17819312 0.38306732 67.505493 21.948141
    Oben rechts KachelX + 1 45058 KachelY 28671 1.17828899 0.38306732 67.510986 21.948141
    Unten links KachelX 45057 KachelY + 1 28672 1.17819312 0.38297839 67.505493 21.943045
    Unten rechts KachelX + 1 45058 KachelY + 1 28672 1.17828899 0.38297839 67.510986 21.943045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38306732-0.38297839) × R
    8.89299999999871e-05 × 6371000     		dl = 566.573029999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38306732-0.38297839) × R
    8.89299999999871e-05 × 6371000     		dr = 566.573029999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17819312-1.17828899) × cos(0.38306732) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.927522536941428 × 6371000     		do = 566.519421963185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17819312-1.17828899) × cos(0.38297839) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.927555772393619 × 6371000     		du = 566.539721770914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38306732)-sin(0.38297839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927522536941428-0.927555772393619)×R²
    abs(1.17828899-1.17819312)×3.32354521912492e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.32354521912492e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.32354521912492e-05×40589641000000     		ar = 320980.376328859m²