Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45057 / 94207
↖ ↑ ↗
← S 61.605090°
W 56.247254°		 ← 145.24 m → S 61.605090°
W 56.244507°		 →
↑
145.26 m
↓
↑
145.26 m
↓
S 61.606397°
W 56.247254°		 ← 145.24 m →
21 098 m²		 S 61.606397°
W 56.244507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343761444091797 y=0.718746185302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343761444091797 × 217)
    floor (0.343761444091797 × 131072)
    floor (45057.5)     		tx = 45057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718746185302734 × 217)
    floor (0.718746185302734 × 131072)
    floor (94207.5)     		ty = 94207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45057 / 94207 ti = "17/45057/94207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45057/94207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45057 ÷ 217
    45057 ÷ 131072     		x = 0.343757629394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94207 ÷ 217
    94207 ÷ 131072     		y = 0.718742370605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343757629394531 × 2 - 1) × π
    -0.312484741210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.98169977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718742370605469 × 2 - 1) × π
    -0.437484741210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.37439884900663
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98169977} λ = -0.98169977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37439884900663))-π/2
    2×atan(0.252991636273989)-π/2
    2×0.247792332783586-π/2
    0.495584665567171-1.57079632675     		φ = -1.07521166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98169977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.247254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07521166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.605090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45057 KachelY 94207 -0.98169977 -1.07521166 -56.247254 -61.605090
    Oben rechts KachelX + 1 45058 KachelY 94207 -0.98165183 -1.07521166 -56.244507 -61.605090
    Unten links KachelX 45057 KachelY + 1 94208 -0.98169977 -1.07523446 -56.247254 -61.606397
    Unten rechts KachelX + 1 45058 KachelY + 1 94208 -0.98165183 -1.07523446 -56.244507 -61.606397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07521166--1.07523446) × R
    2.27999999999895e-05 × 6371000     		dl = 145.258799999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07521166--1.07523446) × R
    2.27999999999895e-05 × 6371000     		dr = 145.258799999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98169977--0.98165183) × cos(-1.07521166) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.475546058535546 × 6371000     		do = 145.244006832207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98169977--0.98165183) × cos(-1.07523446) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.475526001461152 × 6371000     		du = 145.237880885418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07521166)-sin(-1.07523446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475546058535546-0.475526001461152)×R²
    abs(-0.98165183--0.98169977)×2.00570743943418e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00570743943418e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00570743943418e-05×40589641000000     		ar = 21097.5252168608m²