Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45058 / 12290
↖ ↑ ↗
← N 74.016519°
E 67.510986°		 ← 168.20 m → N 74.016519°
E 67.516480°		 →
↑
168.19 m
↓
↑
168.19 m
↓
N 74.015006°
E 67.510986°		 ← 168.22 m →
28 292 m²		 N 74.015006°
E 67.516480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687538146972656 y=0.187538146972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687538146972656 × 216)
    floor (0.687538146972656 × 65536)
    floor (45058.5)     		tx = 45058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187538146972656 × 216)
    floor (0.187538146972656 × 65536)
    floor (12290.5)     		ty = 12290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45058 / 12290 ti = "16/45058/12290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45058/12290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45058 ÷ 216
    45058 ÷ 65536     		x = 0.687530517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12290 ÷ 216
    12290 ÷ 65536     		y = 0.187530517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687530517578125 × 2 - 1) × π
    0.37506103515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.17828899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187530517578125 × 2 - 1) × π
    0.62493896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.96330366083902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17828899} λ = 1.17828899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96330366083902))-π/2
    2×atan(7.1228196183123)-π/2
    2×1.43131413679721-π/2
    2.86262827359441-1.57079632675     		φ = 1.29183195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17828899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.510986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29183195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.016519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45058 KachelY 12290 1.17828899 1.29183195 67.510986 74.016519
    Oben rechts KachelX + 1 45059 KachelY 12290 1.17838487 1.29183195 67.516480 74.016519
    Unten links KachelX 45058 KachelY + 1 12291 1.17828899 1.29180555 67.510986 74.015006
    Unten rechts KachelX + 1 45059 KachelY + 1 12291 1.17838487 1.29180555 67.516480 74.015006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29183195-1.29180555) × R
    2.6399999999871e-05 × 6371000     		dl = 168.194399999178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29183195-1.29180555) × R
    2.6399999999871e-05 × 6371000     		dr = 168.194399999178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17828899-1.17838487) × cos(1.29183195) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.275360209230885 × 6371000     		do = 168.204191341685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17828899-1.17838487) × cos(1.29180555) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.275385588540577 × 6371000     		du = 168.219694330572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29183195)-sin(1.29180555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275360209230885-0.275385588540577)×R²
    abs(1.17838487-1.17828899)×2.53793096920973e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.53793096920973e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.53793096920973e-05×40589641000000     		ar = 28292.3067994736m²