Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45058 / 28674
↖ ↑ ↗
← N 21.932855°
E 67.510986°		 ← 566.64 m → N 21.932855°
E 67.516480°		 →
↑
566.64 m
↓
↑
566.64 m
↓
N 21.927759°
E 67.510986°		 ← 566.66 m →
321 084 m²		 N 21.927759°
E 67.516480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687538146972656 y=0.437538146972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687538146972656 × 216)
    floor (0.687538146972656 × 65536)
    floor (45058.5)     		tx = 45058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437538146972656 × 216)
    floor (0.437538146972656 × 65536)
    floor (28674.5)     		ty = 28674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45058 / 28674 ti = "16/45058/28674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45058/28674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45058 ÷ 216
    45058 ÷ 65536     		x = 0.687530517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28674 ÷ 216
    28674 ÷ 65536     		y = 0.437530517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687530517578125 × 2 - 1) × π
    0.37506103515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.17828899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437530517578125 × 2 - 1) × π
    0.12493896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.39250733408902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17828899} λ = 1.17828899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.39250733408902))-π/2
    2×atan(1.48068872474413)-π/2
    2×0.976798428147587-π/2
    1.95359685629517-1.57079632675     		φ = 0.38280053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17828899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.510986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38280053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.932855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45058 KachelY 28674 1.17828899 0.38280053 67.510986 21.932855
    Oben rechts KachelX + 1 45059 KachelY 28674 1.17838487 0.38280053 67.516480 21.932855
    Unten links KachelX 45058 KachelY + 1 28675 1.17828899 0.38271159 67.510986 21.927759
    Unten rechts KachelX + 1 45059 KachelY + 1 28675 1.17838487 0.38271159 67.516480 21.927759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38280053-0.38271159) × R
    8.89400000000373e-05 × 6371000     		dl = 566.636740000238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38280053-0.38271159) × R
    8.89400000000373e-05 × 6371000     		dr = 566.636740000238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17828899-1.17838487) × cos(0.38280053) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.92762222129089 × 6371000     		do = 566.639406756056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17828899-1.17838487) × cos(0.38271159) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.927655438469816 × 6371000     		du = 566.659697518964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38280053)-sin(0.38271159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92762222129089-0.927655438469816)×R²
    abs(1.17838487-1.17828899)×3.3217178926237e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.3217178926237e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.3217178926237e-05×40589641000000     		ar = 321084.455157484m²