Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45059 / 12293
↖ ↑ ↗
← N 74.011980°
E 67.516480°		 ← 168.23 m → N 74.011980°
E 67.521973°		 →
↑
168.26 m
↓
↑
168.26 m
↓
N 74.010467°
E 67.516480°		 ← 168.25 m →
28 308 m²		 N 74.010467°
E 67.521973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687553405761719 y=0.187583923339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687553405761719 × 216)
    floor (0.687553405761719 × 65536)
    floor (45059.5)     		tx = 45059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187583923339844 × 216)
    floor (0.187583923339844 × 65536)
    floor (12293.5)     		ty = 12293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45059 / 12293 ti = "16/45059/12293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45059/12293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45059 ÷ 216
    45059 ÷ 65536     		x = 0.687545776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12293 ÷ 216
    12293 ÷ 65536     		y = 0.187576293945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687545776367188 × 2 - 1) × π
    0.375091552734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17838487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187576293945312 × 2 - 1) × π
    0.624847412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.9630160394413
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17838487} λ = 1.17838487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9630160394413))-π/2
    2×atan(7.12077123757116)-π/2
    2×1.43127453157746-π/2
    2.86254906315493-1.57079632675     		φ = 1.29175274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17838487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.516480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29175274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.011980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45059 KachelY 12293 1.17838487 1.29175274 67.516480 74.011980
    Oben rechts KachelX + 1 45060 KachelY 12293 1.17848074 1.29175274 67.521973 74.011980
    Unten links KachelX 45059 KachelY + 1 12294 1.17838487 1.29172633 67.516480 74.010467
    Unten rechts KachelX + 1 45060 KachelY + 1 12294 1.17848074 1.29172633 67.521973 74.010467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29175274-1.29172633) × R
    2.64100000000322e-05 × 6371000     		dl = 168.258110000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29175274-1.29172633) × R
    2.64100000000322e-05 × 6371000     		dr = 168.258110000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17838487-1.17848074) × cos(1.29175274) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.275436356197339 × 6371000     		do = 168.233157778695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17838487-1.17848074) × cos(1.29172633) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.275461744544227 × 6371000     		du = 168.248664670475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29175274)-sin(1.29172633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275436356197339-0.275461744544227)×R²
    abs(1.17848074-1.17838487)×2.5388346888644e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.5388346888644e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.5388346888644e-05×40589641000000     		ar = 28307.8977490591m²