Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45062 / 12294
↖ ↑ ↗
← N 74.010467°
E 67.532959°		 ← 168.25 m → N 74.010467°
E 67.538452°		 →
↑
168.26 m
↓
↑
168.26 m
↓
N 74.008954°
E 67.532959°		 ← 168.26 m →
28 311 m²		 N 74.008954°
E 67.538452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687599182128906 y=0.187599182128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687599182128906 × 216)
    floor (0.687599182128906 × 65536)
    floor (45062.5)     		tx = 45062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187599182128906 × 216)
    floor (0.187599182128906 × 65536)
    floor (12294.5)     		ty = 12294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45062 / 12294 ti = "16/45062/12294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45062/12294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45062 ÷ 216
    45062 ÷ 65536     		x = 0.687591552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12294 ÷ 216
    12294 ÷ 65536     		y = 0.187591552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687591552734375 × 2 - 1) × π
    0.37518310546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17867249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187591552734375 × 2 - 1) × π
    0.62481689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.96292016564206
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17867249} λ = 1.17867249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96292016564206))-π/2
    2×atan(7.12008857490435)-π/2
    2×1.43126132740387-π/2
    2.86252265480773-1.57079632675     		φ = 1.29172633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17867249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.532959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29172633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.010467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45062 KachelY 12294 1.17867249 1.29172633 67.532959 74.010467
    Oben rechts KachelX + 1 45063 KachelY 12294 1.17876836 1.29172633 67.538452 74.010467
    Unten links KachelX 45062 KachelY + 1 12295 1.17867249 1.29169992 67.532959 74.008954
    Unten rechts KachelX + 1 45063 KachelY + 1 12295 1.17876836 1.29169992 67.538452 74.008954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29172633-1.29169992) × R
    2.64100000000322e-05 × 6371000     		dl = 168.258110000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29172633-1.29169992) × R
    2.64100000000322e-05 × 6371000     		dr = 168.258110000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17867249-1.17876836) × cos(1.29172633) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.275461744544227 × 6371000     		do = 168.248664670475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17867249-1.17876836) × cos(1.29169992) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.275487132698985 × 6371000     		du = 168.264171444903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29172633)-sin(1.29169992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275461744544227-0.275487132698985)×R²
    abs(1.17876836-1.17867249)×2.53881547573331e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.53881547573331e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.53881547573331e-05×40589641000000     		ar = 28310.5068992884m²