Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45064 / 12312
↖ ↑ ↗
← N 73.983207°
E 67.543946°		 ← 168.53 m → N 73.983207°
E 67.549439°		 →
↑
168.51 m
↓
↑
168.51 m
↓
N 73.981692°
E 67.543946°		 ← 168.54 m →
28 400 m²		 N 73.981692°
E 67.549439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687629699707031 y=0.187873840332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687629699707031 × 216)
    floor (0.687629699707031 × 65536)
    floor (45064.5)     		tx = 45064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187873840332031 × 216)
    floor (0.187873840332031 × 65536)
    floor (12312.5)     		ty = 12312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45064 / 12312 ti = "16/45064/12312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45064/12312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45064 ÷ 216
    45064 ÷ 65536     		x = 0.6876220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12312 ÷ 216
    12312 ÷ 65536     		y = 0.1878662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6876220703125 × 2 - 1) × π
    0.375244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.17886424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1878662109375 × 2 - 1) × π
    0.624267578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.96119443725574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17886424} λ = 1.17886424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96119443725574))-π/2
    2×atan(7.10781183214606)-π/2
    2×1.4310234440699-π/2
    2.86204688813981-1.57079632675     		φ = 1.29125056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17886424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.543946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29125056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.983207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45064 KachelY 12312 1.17886424 1.29125056 67.543946 73.983207
    Oben rechts KachelX + 1 45065 KachelY 12312 1.17896011 1.29125056 67.549439 73.983207
    Unten links KachelX 45064 KachelY + 1 12313 1.17886424 1.29122411 67.543946 73.981692
    Unten rechts KachelX + 1 45065 KachelY + 1 12313 1.17896011 1.29122411 67.549439 73.981692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29125056-1.29122411) × R
    2.64500000000112e-05 × 6371000     		dl = 168.512950000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29125056-1.29122411) × R
    2.64500000000112e-05 × 6371000     		dr = 168.512950000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17886424-1.17896011) × cos(1.29125056) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.275919076777173 × 6371000     		do = 168.527997605185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17886424-1.17896011) × cos(1.29122411) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.27594449991464 × 6371000     		du = 168.543525746625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29125056)-sin(1.29122411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275919076777173-0.27594449991464)×R²
    abs(1.17896011-1.17886424)×2.54231374671732e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.54231374671732e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.54231374671732e-05×40589641000000     		ar = 28400.4583820933m²