Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45064 / 45064
↖ ↑ ↗
← S 55.801281°
E 67.543946°		 ← 343.30 m → S 55.801281°
E 67.549439°		 →
↑
343.27 m
↓
↑
343.27 m
↓
S 55.804368°
E 67.543946°		 ← 343.28 m →
117 841 m²		 S 55.804368°
E 67.549439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687629699707031 y=0.687629699707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687629699707031 × 216)
    floor (0.687629699707031 × 65536)
    floor (45064.5)     		tx = 45064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687629699707031 × 216)
    floor (0.687629699707031 × 65536)
    floor (45064.5)     		ty = 45064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45064 / 45064 ti = "16/45064/45064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45064/45064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45064 ÷ 216
    45064 ÷ 65536     		x = 0.6876220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45064 ÷ 216
    45064 ÷ 65536     		y = 0.6876220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6876220703125 × 2 - 1) × π
    0.375244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.17886424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6876220703125 × 2 - 1) × π
    -0.375244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.17886423545642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17886424} λ = 1.17886424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17886423545642))-π/2
    2×atan(0.307627933161293)-π/2
    2×0.298440123518139-π/2
    0.596880247036277-1.57079632675     		φ = -0.97391608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17886424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.543946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97391608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.801281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45064 KachelY 45064 1.17886424 -0.97391608 67.543946 -55.801281
    Oben rechts KachelX + 1 45065 KachelY 45064 1.17896011 -0.97391608 67.549439 -55.801281
    Unten links KachelX 45064 KachelY + 1 45065 1.17886424 -0.97396996 67.543946 -55.804368
    Unten rechts KachelX + 1 45065 KachelY + 1 45065 1.17896011 -0.97396996 67.549439 -55.804368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97391608--0.97396996) × R
    5.38800000000617e-05 × 6371000     		dl = 343.269480000393m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97391608--0.97396996) × R
    5.38800000000617e-05 × 6371000     		dr = 343.269480000393m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17886424-1.17896011) × cos(-0.97391608) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.562064886351038 × 6371000     		do = 343.302358529646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17886424-1.17896011) × cos(-0.97396996) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.562020321756781 × 6371000     		du = 343.275139020499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97391608)-sin(-0.97396996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562064886351038-0.562020321756781)×R²
    abs(1.17896011-1.17886424)×4.4564594256391e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.4564594256391e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.4564594256391e-05×40589641000000     		ar = 117840.550310428m²