Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45065 / 12295
↖ ↑ ↗
← N 74.008954°
E 67.549439°		 ← 168.26 m → N 74.008954°
E 67.554931°		 →
↑
168.32 m
↓
↑
168.32 m
↓
N 74.007440°
E 67.549439°		 ← 168.28 m →
28 324 m²		 N 74.007440°
E 67.554931°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687644958496094 y=0.187614440917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687644958496094 × 216)
    floor (0.687644958496094 × 65536)
    floor (45065.5)     		tx = 45065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187614440917969 × 216)
    floor (0.187614440917969 × 65536)
    floor (12295.5)     		ty = 12295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45065 / 12295 ti = "16/45065/12295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45065/12295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45065 ÷ 216
    45065 ÷ 65536     		x = 0.687637329101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12295 ÷ 216
    12295 ÷ 65536     		y = 0.187606811523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687637329101562 × 2 - 1) × π
    0.375274658203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.17896011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187606811523438 × 2 - 1) × π
    0.624786376953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.96282429184282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17896011} λ = 1.17896011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96282429184282))-π/2
    2×atan(7.11940597768386)-π/2
    2×1.43124812201325-π/2
    2.8624962440265-1.57079632675     		φ = 1.29169992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17896011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.549439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29169992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.008954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45065 KachelY 12295 1.17896011 1.29169992 67.549439 74.008954
    Oben rechts KachelX + 1 45066 KachelY 12295 1.17905598 1.29169992 67.554931 74.008954
    Unten links KachelX 45065 KachelY + 1 12296 1.17896011 1.29167350 67.549439 74.007440
    Unten rechts KachelX + 1 45066 KachelY + 1 12296 1.17905598 1.29167350 67.554931 74.007440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29169992-1.29167350) × R
    2.64199999999715e-05 × 6371000     		dl = 168.321819999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29169992-1.29167350) × R
    2.64199999999715e-05 × 6371000     		dr = 168.321819999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17896011-1.17905598) × cos(1.29169992) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.275487132698985 × 6371000     		do = 168.264171444903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17896011-1.17905598) × cos(1.29167350) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.275512530274568 × 6371000     		du = 168.279683973457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29169992)-sin(1.29167350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275487132698985-0.275512530274568)×R²
    abs(1.17905598-1.17896011)×2.53975755831193e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.53975755831193e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.53975755831193e-05×40589641000000     		ar = 28323.8371284947m²