Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45072 / 4112
↖ ↑ ↗
← N 82.665072°
E 67.587891°		 ← 77.98 m → N 82.665072°
E 67.593384°		 →
↑
77.98 m
↓
↑
77.98 m
↓
N 82.664371°
E 67.587891°		 ← 77.99 m →
6 081 m²		 N 82.664371°
E 67.593384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687751770019531 y=0.0627517700195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687751770019531 × 216)
    floor (0.687751770019531 × 65536)
    floor (45072.5)     		tx = 45072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0627517700195312 × 216)
    floor (0.0627517700195312 × 65536)
    floor (4112.5)     		ty = 4112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45072 / 4112 ti = "16/45072/4112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45072/4112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45072 ÷ 216
    45072 ÷ 65536     		x = 0.687744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4112 ÷ 216
    4112 ÷ 65536     		y = 0.062744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687744140625 × 2 - 1) × π
    0.37548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.17963123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.062744140625 × 2 - 1) × π
    0.87451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.74735959102466
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17963123} λ = 1.17963123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.74735959102466))-π/2
    2×atan(15.6013834189367)-π/2
    2×1.50678700985745-π/2
    3.01357401971491-1.57079632675     		φ = 1.44277769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17963123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.587891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44277769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.665072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45072 KachelY 4112 1.17963123 1.44277769 67.587891 82.665072
    Oben rechts KachelX + 1 45073 KachelY 4112 1.17972710 1.44277769 67.593384 82.665072
    Unten links KachelX 45072 KachelY + 1 4113 1.17963123 1.44276545 67.587891 82.664371
    Unten rechts KachelX + 1 45073 KachelY + 1 4113 1.17972710 1.44276545 67.593384 82.664371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44277769-1.44276545) × R
    1.22399999999967e-05 × 6371000     		dl = 77.981039999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44277769-1.44276545) × R
    1.22399999999967e-05 × 6371000     		dr = 77.981039999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17963123-1.17972710) × cos(1.44277769) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.127669245194587 × 6371000     		do = 77.9788135699834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17963123-1.17972710) × cos(1.44276545) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.12768138502265 × 6371000     		du = 77.9862284284938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44277769)-sin(1.44276545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127669245194587-0.12768138502265)×R²
    abs(1.17972710-1.17963123)×1.21398280623908e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.21398280623908e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.21398280623908e-05×40589641000000     		ar = 6081.15808939221m²