Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45074 / 12306
↖ ↑ ↗
← N 73.992299°
E 67.598877°		 ← 168.45 m → N 73.992299°
E 67.604370°		 →
↑
168.45 m
↓
↑
168.45 m
↓
N 73.990784°
E 67.598877°		 ← 168.47 m →
28 377 m²		 N 73.990784°
E 67.604370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687782287597656 y=0.187782287597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687782287597656 × 216)
    floor (0.687782287597656 × 65536)
    floor (45074.5)     		tx = 45074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187782287597656 × 216)
    floor (0.187782287597656 × 65536)
    floor (12306.5)     		ty = 12306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45074 / 12306 ti = "16/45074/12306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45074/12306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45074 ÷ 216
    45074 ÷ 65536     		x = 0.687774658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12306 ÷ 216
    12306 ÷ 65536     		y = 0.187774658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687774658203125 × 2 - 1) × π
    0.37554931640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.17982297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187774658203125 × 2 - 1) × π
    0.62445068359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.96176968005118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17982297} λ = 1.17982297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96176968005118))-π/2
    2×atan(7.11190172592204)-π/2
    2×1.43110278236414-π/2
    2.86220556472827-1.57079632675     		φ = 1.29140924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17982297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.598877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29140924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.992299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45074 KachelY 12306 1.17982297 1.29140924 67.598877 73.992299
    Oben rechts KachelX + 1 45075 KachelY 12306 1.17991885 1.29140924 67.604370 73.992299
    Unten links KachelX 45074 KachelY + 1 12307 1.17982297 1.29138280 67.598877 73.990784
    Unten rechts KachelX + 1 45075 KachelY + 1 12307 1.17991885 1.29138280 67.604370 73.990784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29140924-1.29138280) × R
    2.64399999998499e-05 × 6371000     		dl = 168.449239999044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29140924-1.29138280) × R
    2.64399999998499e-05 × 6371000     		dr = 168.449239999044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17982297-1.17991885) × cos(1.29140924) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.275766553123778 × 6371000     		do = 168.452407110048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17982297-1.17991885) × cos(1.29138280) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.275791967806861 × 6371000     		du = 168.467931706823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29140924)-sin(1.29138280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275766553123778-0.275791967806861)×R²
    abs(1.17991885-1.17982297)×2.54146830829249e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.54146830829249e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.54146830829249e-05×40589641000000     		ar = 28376.9875086559m²