Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 45076 / 12308
↖ ↑ ↗
← N 73.989269°
E 67.609863°		 ← 168.47 m → N 73.989269°
E 67.615356°		 →
↑
168.51 m
↓
↑
168.51 m
↓
N 73.987754°
E 67.609863°		 ← 168.48 m →
28 390 m²		 N 73.987754°
E 67.615356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687812805175781 y=0.187812805175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687812805175781 × 216)
    floor (0.687812805175781 × 65536)
    floor (45076.5)     		tx = 45076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187812805175781 × 216)
    floor (0.187812805175781 × 65536)
    floor (12308.5)     		ty = 12308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45076 / 12308 ti = "16/45076/12308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45076/12308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45076 ÷ 216
    45076 ÷ 65536     		x = 0.68780517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12308 ÷ 216
    12308 ÷ 65536     		y = 0.18780517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68780517578125 × 2 - 1) × π
    0.3756103515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.18001472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18780517578125 × 2 - 1) × π
    0.6243896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.9615779324527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18001472} λ = 1.18001472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9615779324527))-π/2
    2×atan(7.11053816657926)-π/2
    2×1.43107634114016-π/2
    2.86215268228032-1.57079632675     		φ = 1.29135636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18001472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.609863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29135636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.989269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45076 KachelY 12308 1.18001472 1.29135636 67.609863 73.989269
    Oben rechts KachelX + 1 45077 KachelY 12308 1.18011059 1.29135636 67.615356 73.989269
    Unten links KachelX 45076 KachelY + 1 12309 1.18001472 1.29132991 67.609863 73.987754
    Unten rechts KachelX + 1 45077 KachelY + 1 12309 1.18011059 1.29132991 67.615356 73.987754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29135636-1.29132991) × R
    2.64500000000112e-05 × 6371000     		dl = 168.512950000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29135636-1.29132991) × R
    2.64500000000112e-05 × 6371000     		dr = 168.512950000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18001472-1.18011059) × cos(1.29135636) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.275817382297145 × 6371000     		do = 168.465883860507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18001472-1.18011059) × cos(1.29132991) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.275842806206641 × 6371000     		du = 168.481412473493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29135636)-sin(1.29132991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275817382297145-0.275842806206641)×R²
    abs(1.18011059-1.18001472)×2.54239094951703e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.54239094951703e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.54239094951703e-05×40589641000000     		ar = 28389.9914517747m²