Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45088 / 20512
↖ ↑ ↗
← N 55.677585°
E 67.675781°		 ← 344.39 m → N 55.677585°
E 67.681274°		 →
↑
344.42 m
↓
↑
344.42 m
↓
N 55.674487°
E 67.675781°		 ← 344.42 m →
118 619 m²		 N 55.674487°
E 67.681274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687995910644531 y=0.312995910644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687995910644531 × 216)
    floor (0.687995910644531 × 65536)
    floor (45088.5)     		tx = 45088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312995910644531 × 216)
    floor (0.312995910644531 × 65536)
    floor (20512.5)     		ty = 20512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45088 / 20512 ti = "16/45088/20512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45088/20512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45088 ÷ 216
    45088 ÷ 65536     		x = 0.68798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20512 ÷ 216
    20512 ÷ 65536     		y = 0.31298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68798828125 × 2 - 1) × π
    0.3759765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.18116521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31298828125 × 2 - 1) × π
    0.3740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.17502928348682
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18116521} λ = 1.18116521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17502928348682))-π/2
    2×atan(3.23823776934257)-π/2
    2×1.27127674715327-π/2
    2.54255349430654-1.57079632675     		φ = 0.97175717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18116521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97175717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.677585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45088 KachelY 20512 1.18116521 0.97175717 67.675781 55.677585
    Oben rechts KachelX + 1 45089 KachelY 20512 1.18126108 0.97175717 67.681274 55.677585
    Unten links KachelX 45088 KachelY + 1 20513 1.18116521 0.97170311 67.675781 55.674487
    Unten rechts KachelX + 1 45089 KachelY + 1 20513 1.18126108 0.97170311 67.681274 55.674487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97175717-0.97170311) × R
    5.40599999999669e-05 × 6371000     		dl = 344.416259999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97175717-0.97170311) × R
    5.40599999999669e-05 × 6371000     		dr = 344.416259999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18116521-1.18126108) × cos(0.97175717) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.563849194755044 × 6371000     		do = 344.392192280721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18116521-1.18126108) × cos(0.97170311) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.563893840883171 × 6371000     		du = 344.41946158976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97175717)-sin(0.97170311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563849194755044-0.563893840883171)×R²
    abs(1.18126108-1.18116521)×4.46461281274901e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.46461281274901e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46461281274901e-05×40589641000000     		ar = 118618.966863894m²