Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45104 / 12336
↖ ↑ ↗
← N 73.946791°
E 67.763672°		 ← 168.90 m → N 73.946791°
E 67.769165°		 →
↑
168.96 m
↓
↑
168.96 m
↓
N 73.945272°
E 67.763672°		 ← 168.92 m →
28 539 m²		 N 73.945272°
E 67.769165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688240051269531 y=0.188240051269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688240051269531 × 216)
    floor (0.688240051269531 × 65536)
    floor (45104.5)     		tx = 45104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188240051269531 × 216)
    floor (0.188240051269531 × 65536)
    floor (12336.5)     		ty = 12336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45104 / 12336 ti = "16/45104/12336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45104/12336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45104 ÷ 216
    45104 ÷ 65536     		x = 0.688232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12336 ÷ 216
    12336 ÷ 65536     		y = 0.188232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688232421875 × 2 - 1) × π
    0.37646484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.18269919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188232421875 × 2 - 1) × π
    0.62353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.95889346607397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18269919} λ = 1.18269919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95889346607397))-π/2
    2×atan(7.09147576357398)-π/2
    2×1.43070565187774-π/2
    2.86141130375548-1.57079632675     		φ = 1.29061498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18269919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.763672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29061498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.946791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45104 KachelY 12336 1.18269919 1.29061498 67.763672 73.946791
    Oben rechts KachelX + 1 45105 KachelY 12336 1.18279506 1.29061498 67.769165 73.946791
    Unten links KachelX 45104 KachelY + 1 12337 1.18269919 1.29058846 67.763672 73.945272
    Unten rechts KachelX + 1 45105 KachelY + 1 12337 1.18279506 1.29058846 67.769165 73.945272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29061498-1.29058846) × R
    2.65200000000299e-05 × 6371000     		dl = 168.95892000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29061498-1.29058846) × R
    2.65200000000299e-05 × 6371000     		dr = 168.95892000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18269919-1.18279506) × cos(1.29061498) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.276529928342407 × 6371000     		do = 168.901098270515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18269919-1.18279506) × cos(1.29058846) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.276555414105884 × 6371000     		du = 168.916664663156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29061498)-sin(1.29058846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276529928342407-0.276555414105884)×R²
    abs(1.18279506-1.18269919)×2.54857634768291e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.54857634768291e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.54857634768291e-05×40589641000000     		ar = 28538.662192803m²