Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45119 / 12351
↖ ↑ ↗
← N 73.923990°
E 67.846069°		 ← 169.15 m → N 73.923990°
E 67.851563°		 →
↑
169.15 m
↓
↑
169.15 m
↓
N 73.922469°
E 67.846069°		 ← 169.17 m →
28 613 m²		 N 73.922469°
E 67.851563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688468933105469 y=0.188468933105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688468933105469 × 216)
    floor (0.688468933105469 × 65536)
    floor (45119.5)     		tx = 45119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188468933105469 × 216)
    floor (0.188468933105469 × 65536)
    floor (12351.5)     		ty = 12351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45119 / 12351 ti = "16/45119/12351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45119/12351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45119 ÷ 216
    45119 ÷ 65536     		x = 0.688461303710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12351 ÷ 216
    12351 ÷ 65536     		y = 0.188461303710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688461303710938 × 2 - 1) × π
    0.376922607421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18413729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188461303710938 × 2 - 1) × π
    0.623077392578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.95745535908537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18413729} λ = 1.18413729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95745535908537))-π/2
    2×atan(7.08128479232874)-π/2
    2×1.43050667460518-π/2
    2.86101334921036-1.57079632675     		φ = 1.29021702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18413729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.846069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29021702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.923990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45119 KachelY 12351 1.18413729 1.29021702 67.846069 73.923990
    Oben rechts KachelX + 1 45120 KachelY 12351 1.18423317 1.29021702 67.851563 73.923990
    Unten links KachelX 45119 KachelY + 1 12352 1.18413729 1.29019047 67.846069 73.922469
    Unten rechts KachelX + 1 45120 KachelY + 1 12352 1.18423317 1.29019047 67.851563 73.922469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29021702-1.29019047) × R
    2.65500000000696e-05 × 6371000     		dl = 169.150050000443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29021702-1.29019047) × R
    2.65500000000696e-05 × 6371000     		dr = 169.150050000443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18413729-1.18423317) × cos(1.29021702) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.276912348106685 × 6371000     		do = 169.152317671133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18413729-1.18423317) × cos(1.29019047) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.276937859776176 × 6371000     		du = 169.167901512198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29021702)-sin(1.29019047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276912348106685-0.276937859776176)×R²
    abs(1.18423317-1.18413729)×2.55116694903856e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.55116694903856e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.55116694903856e-05×40589641000000     		ar = 28613.4409970514m²