Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4512 / 4000
↖ ↑ ↗
← N  4.214943°
E 18.281250°		 ← 4 873.28 m → N  4.214943°
E 18.325195°		 →
↑
4 873.43 m
↓
↑
4 873.43 m
↓
N  4.171116°
E 18.281250°		 ← 4 873.55 m →
23 750 255 m²		 N  4.171116°
E 18.325195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55084228515625 y=0.48834228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55084228515625 × 213)
    floor (0.55084228515625 × 8192)
    floor (4512.5)     		tx = 4512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.48834228515625 × 213)
    floor (0.48834228515625 × 8192)
    floor (4000.5)     		ty = 4000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4512 / 4000 ti = "13/4512/4000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4512/4000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4512 ÷ 213
    4512 ÷ 8192     		x = 0.55078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4000 ÷ 213
    4000 ÷ 8192     		y = 0.48828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55078125 × 2 - 1) × π
    0.1015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31906800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48828125 × 2 - 1) × π
    0.0234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0736310778164063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31906800} λ = 0.31906800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0736310778164063))-π/2
    2×atan(1.07640962084785)-π/2
    2×0.822180481197209-π/2
    1.64436096239442-1.57079632675     		φ = 0.07356464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31906800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.07356464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 4.214943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4512 KachelY 4000 0.31906800 0.07356464 18.281250 4.214943
    Oben rechts KachelX + 1 4513 KachelY 4000 0.31983499 0.07356464 18.325195 4.214943
    Unten links KachelX 4512 KachelY + 1 4001 0.31906800 0.07279970 18.281250 4.171116
    Unten rechts KachelX + 1 4513 KachelY + 1 4001 0.31983499 0.07279970 18.325195 4.171116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.07356464-0.07279970) × R
    0.000764940000000006 × 6371000     		dl = 4873.43274000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.07356464-0.07279970) × R
    0.000764940000000006 × 6371000     		dr = 4873.43274000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31906800-0.31983499) × cos(0.07356464) × R
    0.000766989999999967 × 0.9972953419468 × 6371000     		do = 4873.27699657109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31906800-0.31983499) × cos(0.07279970) × R
    0.000766989999999967 × 0.997351271959935 × 6371000     		du = 4873.55029820498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.07356464)-sin(0.07279970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9972953419468-0.997351271959935)×R²
    abs(0.31983499-0.31906800)×5.59300131346419e-05×R²
    0.000766989999999967×5.59300131346419e-05×6371000²
    0.000766989999999967×5.59300131346419e-05×40589641000000     		ar = 23750254.7828328m²