Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45120 / 61504
↖ ↑ ↗
← S 82.720964°
E 67.851563°		 ← 77.39 m → S 82.720964°
E 67.857056°		 →
↑
77.41 m
↓
↑
77.41 m
↓
S 82.721661°
E 67.851563°		 ← 77.38 m →
5 990 m²		 S 82.721661°
E 67.857056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688484191894531 y=0.938484191894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688484191894531 × 216)
    floor (0.688484191894531 × 65536)
    floor (45120.5)     		tx = 45120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938484191894531 × 216)
    floor (0.938484191894531 × 65536)
    floor (61504.5)     		ty = 61504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45120 / 61504 ti = "16/45120/61504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45120/61504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45120 ÷ 216
    45120 ÷ 65536     		x = 0.6884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61504 ÷ 216
    61504 ÷ 65536     		y = 0.9384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6884765625 × 2 - 1) × π
    0.376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18423317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9384765625 × 2 - 1) × π
    -0.876953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.75502949496387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18423317} λ = 1.18423317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75502949496387))-π/2
    2×atan(0.0636071435507032)-π/2
    2×0.0635215691379293-π/2
    0.127043138275859-1.57079632675     		φ = -1.44375319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18423317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.851563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44375319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.720964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45120 KachelY 61504 1.18423317 -1.44375319 67.851563 -82.720964
    Oben rechts KachelX + 1 45121 KachelY 61504 1.18432904 -1.44375319 67.857056 -82.720964
    Unten links KachelX 45120 KachelY + 1 61505 1.18423317 -1.44376534 67.851563 -82.721661
    Unten rechts KachelX + 1 45121 KachelY + 1 61505 1.18432904 -1.44376534 67.857056 -82.721661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44375319--1.44376534) × R
    1.21499999998775e-05 × 6371000     		dl = 77.4076499992198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44375319--1.44376534) × R
    1.21499999998775e-05 × 6371000     		dr = 77.4076499992198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18423317-1.18432904) × cos(-1.44375319) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.126701667315055 × 6371000     		do = 77.3878288346428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18423317-1.18432904) × cos(-1.44376534) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.126689615224146 × 6371000     		du = 77.3804675649124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44375319)-sin(-1.44376534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126701667315055-0.126689615224146)×R²
    abs(1.18432904-1.18423317)×1.20520909093758e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.20520909093758e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.20520909093758e-05×40589641000000     		ar = 5990.12505969327m²