Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 45152 / 12256
↖ ↑ ↗
← N 74.067866°
E 68.027344°		 ← 167.66 m → N 74.067866°
E 68.032837°		 →
↑
167.68 m
↓
↑
167.68 m
↓
N 74.066358°
E 68.027344°		 ← 167.68 m →
28 115 m²		 N 74.066358°
E 68.032837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688972473144531 y=0.187019348144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688972473144531 × 216)
    floor (0.688972473144531 × 65536)
    floor (45152.5)     		tx = 45152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187019348144531 × 216)
    floor (0.187019348144531 × 65536)
    floor (12256.5)     		ty = 12256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45152 / 12256 ti = "16/45152/12256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45152/12256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45152 ÷ 216
    45152 ÷ 65536     		x = 0.68896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12256 ÷ 216
    12256 ÷ 65536     		y = 0.18701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68896484375 × 2 - 1) × π
    0.3779296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18730113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18701171875 × 2 - 1) × π
    0.6259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.96656337001318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18730113} λ = 1.18730113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96656337001318))-π/2
    2×atan(7.14607582240616)-π/2
    2×1.43176223138021-π/2
    2.86352446276042-1.57079632675     		φ = 1.29272814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18730113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.027344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29272814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.067866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45152 KachelY 12256 1.18730113 1.29272814 68.027344 74.067866
    Oben rechts KachelX + 1 45153 KachelY 12256 1.18739700 1.29272814 68.032837 74.067866
    Unten links KachelX 45152 KachelY + 1 12257 1.18730113 1.29270182 68.027344 74.066358
    Unten rechts KachelX + 1 45153 KachelY + 1 12257 1.18739700 1.29270182 68.032837 74.066358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29272814-1.29270182) × R
    2.63199999999131e-05 × 6371000     		dl = 167.684719999446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29272814-1.29270182) × R
    2.63199999999131e-05 × 6371000     		dr = 167.684719999446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18730113-1.18739700) × cos(1.29272814) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.274498554466336 × 6371000     		do = 167.660359950713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18730113-1.18739700) × cos(1.29270182) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.274523863354576 × 6371000     		du = 167.675818310122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29272814)-sin(1.29270182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.274498554466336-0.274523863354576)×R²
    abs(1.18739700-1.18730113)×2.53088882393726e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.53088882393726e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.53088882393726e-05×40589641000000     		ar = 28115.3765799593m²