Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 452 / 69
↖ ↑ ↗
← N 78.490552°
E137.812500°		 ← 15.600 km → N 78.490552°
E138.515625°		 →
↑
15.694 km
↓
↑
15.694 km
↓
N 78.349410°
E137.812500°		 ← 15.789 km →
246.310 km²		 N 78.349410°
E138.515625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8837890625 y=0.1357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8837890625 × 29)
    floor (0.8837890625 × 512)
    floor (452.5)     		tx = 452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1357421875 × 29)
    floor (0.1357421875 × 512)
    floor (69.5)     		ty = 69
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 452 / 69 ti = "9/452/69"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/452/69.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 452 ÷ 29
    452 ÷ 512     		x = 0.8828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69 ÷ 29
    69 ÷ 512     		y = 0.134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8828125 × 2 - 1) × π
    0.765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.40528188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134765625 × 2 - 1) × π
    0.73046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29483525861133
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.40528188} λ = 2.40528188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29483525861133))-π/2
    2×atan(9.92280118158074)-π/2
    2×1.47035744249174-π/2
    2.94071488498349-1.57079632675     		φ = 1.36991856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.40528188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 137.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36991856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.490552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 452 KachelY 69 2.40528188 1.36991856 137.812500 78.490552
    Oben rechts KachelX + 1 453 KachelY 69 2.41755372 1.36991856 138.515625 78.490552
    Unten links KachelX 452 KachelY + 1 70 2.40528188 1.36745518 137.812500 78.349410
    Unten rechts KachelX + 1 453 KachelY + 1 70 2.41755372 1.36745518 138.515625 78.349410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36991856-1.36745518) × R
    0.00246337999999979 × 6371000     		dl = 15694.1939799987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36991856-1.36745518) × R
    0.00246337999999979 × 6371000     		dr = 15694.1939799987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.40528188-2.41755372) × cos(1.36991856) × R
    0.0122718399999999 × 0.199529524048583 × 6371000     		do = 15599.9948867246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.40528188-2.41755372) × cos(1.36745518) × R
    0.0122718399999999 × 0.201942762110113 × 6371000     		du = 15788.6712322421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36991856)-sin(1.36745518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199529524048583-0.201942762110113)×R²
    abs(2.41755372-2.40528188)×0.00241323806153057×R²
    0.0122718399999999×0.00241323806153057×6371000²
    0.0122718399999999×0.00241323806153057×40589641000000     		ar = 246310031.978002m²