Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45312 / 12544
↖ ↑ ↗
← N 73.627789°
E 68.906250°		 ← 172.17 m → N 73.627789°
E 68.911743°		 →
↑
172.21 m
↓
↑
172.21 m
↓
N 73.626240°
E 68.906250°		 ← 172.18 m →
29 650 m²		 N 73.626240°
E 68.911743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691413879394531 y=0.191413879394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691413879394531 × 216)
    floor (0.691413879394531 × 65536)
    floor (45312.5)     		tx = 45312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191413879394531 × 216)
    floor (0.191413879394531 × 65536)
    floor (12544.5)     		ty = 12544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45312 / 12544 ti = "16/45312/12544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45312/12544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45312 ÷ 216
    45312 ÷ 65536     		x = 0.69140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12544 ÷ 216
    12544 ÷ 65536     		y = 0.19140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69140625 × 2 - 1) × π
    0.3828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.20264094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19140625 × 2 - 1) × π
    0.6171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.93895171583203
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20264094} λ = 1.20264094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93895171583203))-π/2
    2×atan(6.9514600443149)-π/2
    2×1.42792183109354-π/2
    2.85584366218708-1.57079632675     		φ = 1.28504734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20264094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28504734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.627789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45312 KachelY 12544 1.20264094 1.28504734 68.906250 73.627789
    Oben rechts KachelX + 1 45313 KachelY 12544 1.20273681 1.28504734 68.911743 73.627789
    Unten links KachelX 45312 KachelY + 1 12545 1.20264094 1.28502031 68.906250 73.626240
    Unten rechts KachelX + 1 45313 KachelY + 1 12545 1.20273681 1.28502031 68.911743 73.626240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28504734-1.28502031) × R
    2.7030000000039e-05 × 6371000     		dl = 172.208130000248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28504734-1.28502031) × R
    2.7030000000039e-05 × 6371000     		dr = 172.208130000248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20264094-1.20273681) × cos(1.28504734) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.281876146271479 × 6371000     		do = 172.166502797347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20264094-1.20273681) × cos(1.28502031) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.281902080123635 × 6371000     		du = 172.182342877073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28504734)-sin(1.28502031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281876146271479-0.281902080123635)×R²
    abs(1.20273681-1.20264094)×2.59338521562125e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.59338521562125e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.59338521562125e-05×40589641000000     		ar = 29649.835392461m²