Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45316 / 12548
↖ ↑ ↗
← N 73.621594°
E 68.928222°		 ← 172.25 m → N 73.621594°
E 68.933716°		 →
↑
172.27 m
↓
↑
172.27 m
↓
N 73.620045°
E 68.928222°		 ← 172.26 m →
29 675 m²		 N 73.620045°
E 68.933716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691474914550781 y=0.191474914550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691474914550781 × 216)
    floor (0.691474914550781 × 65536)
    floor (45316.5)     		tx = 45316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191474914550781 × 216)
    floor (0.191474914550781 × 65536)
    floor (12548.5)     		ty = 12548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45316 / 12548 ti = "16/45316/12548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45316/12548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45316 ÷ 216
    45316 ÷ 65536     		x = 0.69146728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12548 ÷ 216
    12548 ÷ 65536     		y = 0.19146728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69146728515625 × 2 - 1) × π
    0.3829345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.20302443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19146728515625 × 2 - 1) × π
    0.6170654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.93856822063507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20302443} λ = 1.20302443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93856822063507))-π/2
    2×atan(6.94879470388133)-π/2
    2×1.42786777207392-π/2
    2.85573554414785-1.57079632675     		φ = 1.28493922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20302443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.928222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28493922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.621594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45316 KachelY 12548 1.20302443 1.28493922 68.928222 73.621594
    Oben rechts KachelX + 1 45317 KachelY 12548 1.20312031 1.28493922 68.933716 73.621594
    Unten links KachelX 45316 KachelY + 1 12549 1.20302443 1.28491218 68.928222 73.620045
    Unten rechts KachelX + 1 45317 KachelY + 1 12549 1.20312031 1.28491218 68.933716 73.620045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28493922-1.28491218) × R
    2.70399999999782e-05 × 6371000     		dl = 172.271839999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28493922-1.28491218) × R
    2.70399999999782e-05 × 6371000     		dr = 172.271839999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20302443-1.20312031) × cos(1.28493922) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.281979880444246 × 6371000     		do = 172.247827299877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20302443-1.20312031) × cos(1.28491218) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.282005823066562 × 6371000     		du = 172.263674389113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28493922)-sin(1.28491218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281979880444246-0.282005823066562)×R²
    abs(1.20312031-1.20302443)×2.59426223152004e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.59426223152004e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.59426223152004e-05×40589641000000     		ar = 29674.8151503545m²