Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45320 / 12552
↖ ↑ ↗
← N 73.615397°
E 68.950195°		 ← 172.29 m → N 73.615397°
E 68.955688°		 →
↑
172.34 m
↓
↑
172.34 m
↓
N 73.613847°
E 68.950195°		 ← 172.31 m →
29 694 m²		 N 73.613847°
E 68.955688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691535949707031 y=0.191535949707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691535949707031 × 216)
    floor (0.691535949707031 × 65536)
    floor (45320.5)     		tx = 45320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191535949707031 × 216)
    floor (0.191535949707031 × 65536)
    floor (12552.5)     		ty = 12552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45320 / 12552 ti = "16/45320/12552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45320/12552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45320 ÷ 216
    45320 ÷ 65536     		x = 0.6915283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12552 ÷ 216
    12552 ÷ 65536     		y = 0.1915283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6915283203125 × 2 - 1) × π
    0.383056640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.20340793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1915283203125 × 2 - 1) × π
    0.616943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.93818472543811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20340793} λ = 1.20340793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93818472543811))-π/2
    2×atan(6.94613038539706)-π/2
    2×1.42781369316055-π/2
    2.85562738632109-1.57079632675     		φ = 1.28483106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20340793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.950195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28483106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.615397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45320 KachelY 12552 1.20340793 1.28483106 68.950195 73.615397
    Oben rechts KachelX + 1 45321 KachelY 12552 1.20350380 1.28483106 68.955688 73.615397
    Unten links KachelX 45320 KachelY + 1 12553 1.20340793 1.28480401 68.950195 73.613847
    Unten rechts KachelX + 1 45321 KachelY + 1 12553 1.20350380 1.28480401 68.955688 73.613847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28483106-1.28480401) × R
    2.70499999999174e-05 × 6371000     		dl = 172.335549999474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28483106-1.28480401) × R
    2.70499999999174e-05 × 6371000     		dr = 172.335549999474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20340793-1.20350380) × cos(1.28483106) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.282083649696281 × 6371000     		do = 172.293243351449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20340793-1.20350380) × cos(1.28480401) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.282109601087536 × 6371000     		du = 172.309094143842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28483106)-sin(1.28480401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282083649696281-0.282109601087536)×R²
    abs(1.20350380-1.20340793)×2.59513912558851e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.59513912558851e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.59513912558851e-05×40589641000000     		ar = 29693.616683685m²