Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 45328 / 12560
↖ ↑ ↗
← N 73.602996°
E 68.994141°		 ← 172.42 m → N 73.602996°
E 68.999634°		 →
↑
172.40 m
↓
↑
172.40 m
↓
N 73.601446°
E 68.994141°		 ← 172.44 m →
29 726 m²		 N 73.601446°
E 68.999634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691658020019531 y=0.191658020019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691658020019531 × 216)
    floor (0.691658020019531 × 65536)
    floor (45328.5)     		tx = 45328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191658020019531 × 216)
    floor (0.191658020019531 × 65536)
    floor (12560.5)     		ty = 12560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45328 / 12560 ti = "16/45328/12560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45328/12560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45328 ÷ 216
    45328 ÷ 65536     		x = 0.691650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12560 ÷ 216
    12560 ÷ 65536     		y = 0.191650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.691650390625 × 2 - 1) × π
    0.38330078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.20417492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191650390625 × 2 - 1) × π
    0.61669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.93741773504419
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20417492} λ = 1.20417492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93741773504419))-π/2
    2×atan(6.94080481270916)-π/2
    2×1.42770547562575-π/2
    2.85541095125151-1.57079632675     		φ = 1.28461462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20417492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.994141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28461462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.602996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45328 KachelY 12560 1.20417492 1.28461462 68.994141 73.602996
    Oben rechts KachelX + 1 45329 KachelY 12560 1.20427079 1.28461462 68.999634 73.602996
    Unten links KachelX 45328 KachelY + 1 12561 1.20417492 1.28458756 68.994141 73.601446
    Unten rechts KachelX + 1 45329 KachelY + 1 12561 1.20427079 1.28458756 68.999634 73.601446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28461462-1.28458756) × R
    2.70599999998566e-05 × 6371000     		dl = 172.399259999087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28461462-1.28458756) × R
    2.70599999998566e-05 × 6371000     		dr = 172.399259999087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20417492-1.20427079) × cos(1.28461462) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.282291293418646 × 6371000     		do = 172.420069597587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20417492-1.20427079) × cos(1.28458756) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.282317252750913 × 6371000     		du = 172.435925240253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28461462)-sin(1.28458756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282291293418646-0.282317252750913)×R²
    abs(1.20427079-1.20417492)×2.59593322672891e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.59593322672891e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.59593322672891e-05×40589641000000     		ar = 29726.459160009m²