Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45440 / 12672
↖ ↑ ↗
← N 73.428424°
E 69.609375°		 ← 174.22 m → N 73.428424°
E 69.614868°		 →
↑
174.25 m
↓
↑
174.25 m
↓
N 73.426857°
E 69.609375°		 ← 174.24 m →
30 359 m²		 N 73.426857°
E 69.614868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.693367004394531 y=0.193367004394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.693367004394531 × 216)
    floor (0.693367004394531 × 65536)
    floor (45440.5)     		tx = 45440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193367004394531 × 216)
    floor (0.193367004394531 × 65536)
    floor (12672.5)     		ty = 12672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45440 / 12672 ti = "16/45440/12672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45440/12672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45440 ÷ 216
    45440 ÷ 65536     		x = 0.693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12672 ÷ 216
    12672 ÷ 65536     		y = 0.193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.693359375 × 2 - 1) × π
    0.38671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.21491278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193359375 × 2 - 1) × π
    0.61328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.9266798695293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.21491278} λ = 1.21491278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9266798695293))-π/2
    2×atan(6.86667409916354)-π/2
    2×1.42618204193254-π/2
    2.85236408386507-1.57079632675     		φ = 1.28156776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.21491278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28156776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.428424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45440 KachelY 12672 1.21491278 1.28156776 69.609375 73.428424
    Oben rechts KachelX + 1 45441 KachelY 12672 1.21500866 1.28156776 69.614868 73.428424
    Unten links KachelX 45440 KachelY + 1 12673 1.21491278 1.28154041 69.609375 73.426857
    Unten rechts KachelX + 1 45441 KachelY + 1 12673 1.21500866 1.28154041 69.614868 73.426857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28156776-1.28154041) × R
    2.73499999998705e-05 × 6371000     		dl = 174.246849999175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28156776-1.28154041) × R
    2.73499999998705e-05 × 6371000     		dr = 174.246849999175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.21491278-1.21500866) × cos(1.28156776) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.285212918947603 × 6371000     		do = 174.222733654553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.21491278-1.21500866) × cos(1.28154041) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.285239132836343 × 6371000     		du = 174.238746447286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28156776)-sin(1.28154041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285212918947603-0.285239132836343)×R²
    abs(1.21500866-1.21491278)×2.62138887398566e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.62138887398566e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.62138887398566e-05×40589641000000     		ar = 30359.157628937m²