Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45567 / 12799
↖ ↑ ↗
← N 73.228285°
E 70.307007°		 ← 176.25 m → N 73.228285°
E 70.312500°		 →
↑
176.29 m
↓
↑
176.29 m
↓
N 73.226700°
E 70.307007°		 ← 176.26 m →
31 071 m²		 N 73.226700°
E 70.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.695304870605469 y=0.195304870605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.695304870605469 × 216)
    floor (0.695304870605469 × 65536)
    floor (45567.5)     		tx = 45567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195304870605469 × 216)
    floor (0.195304870605469 × 65536)
    floor (12799.5)     		ty = 12799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45567 / 12799 ti = "16/45567/12799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45567/12799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45567 ÷ 216
    45567 ÷ 65536     		x = 0.695297241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12799 ÷ 216
    12799 ÷ 65536     		y = 0.195297241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.695297241210938 × 2 - 1) × π
    0.390594482421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.22708876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.195297241210938 × 2 - 1) × π
    0.609405517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.9145038970258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.22708876} λ = 1.22708876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9145038970258))-π/2
    2×atan(6.78357261153278)-π/2
    2×1.42443550166282-π/2
    2.84887100332565-1.57079632675     		φ = 1.27807468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.22708876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 70.307007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27807468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.228285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45567 KachelY 12799 1.22708876 1.27807468 70.307007 73.228285
    Oben rechts KachelX + 1 45568 KachelY 12799 1.22718463 1.27807468 70.312500 73.228285
    Unten links KachelX 45567 KachelY + 1 12800 1.22708876 1.27804701 70.307007 73.226700
    Unten rechts KachelX + 1 45568 KachelY + 1 12800 1.22718463 1.27804701 70.312500 73.226700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27807468-1.27804701) × R
    2.76699999999241e-05 × 6371000     		dl = 176.285569999517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27807468-1.27804701) × R
    2.76699999999241e-05 × 6371000     		dr = 176.285569999517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.22708876-1.22718463) × cos(1.27807468) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.288559164182555 × 6371000     		do = 176.248408404123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.22708876-1.22718463) × cos(1.27804701) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.288585657047466 × 6371000     		du = 176.264589922003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27807468)-sin(1.27804701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.288559164182555-0.288585657047466)×R²
    abs(1.22718463-1.22708876)×2.64928649116869e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.64928649116869e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.64928649116869e-05×40589641000000     		ar = 31071.4774234784m²