Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45568 / 61952
↖ ↑ ↗
← S 83.026219°
E 70.312500°		 ← 74.16 m → S 83.026219°
E 70.317993°		 →
↑
74.16 m
↓
↑
74.16 m
↓
S 83.026886°
E 70.312500°		 ← 74.15 m →
5 499 m²		 S 83.026886°
E 70.317993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.695320129394531 y=0.945320129394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.695320129394531 × 216)
    floor (0.695320129394531 × 65536)
    floor (45568.5)     		tx = 45568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.945320129394531 × 216)
    floor (0.945320129394531 × 65536)
    floor (61952.5)     		ty = 61952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45568 / 61952 ti = "16/45568/61952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45568/61952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45568 ÷ 216
    45568 ÷ 65536     		x = 0.6953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61952 ÷ 216
    61952 ÷ 65536     		y = 0.9453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6953125 × 2 - 1) × π
    0.390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.22718463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9453125 × 2 - 1) × π
    -0.890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.79798095702344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.22718463} λ = 1.22718463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.79798095702344))-π/2
    2×atan(0.0609329647856864)-π/2
    2×0.0608577211652698-π/2
    0.12171544233054-1.57079632675     		φ = -1.44908088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.22718463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 70.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44908088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.026219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45568 KachelY 61952 1.22718463 -1.44908088 70.312500 -83.026219
    Oben rechts KachelX + 1 45569 KachelY 61952 1.22728050 -1.44908088 70.317993 -83.026219
    Unten links KachelX 45568 KachelY + 1 61953 1.22718463 -1.44909252 70.312500 -83.026886
    Unten rechts KachelX + 1 45569 KachelY + 1 61953 1.22728050 -1.44909252 70.317993 -83.026886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44908088--1.44909252) × R
    1.16400000000905e-05 × 6371000     		dl = 74.1584400005764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44908088--1.44909252) × R
    1.16400000000905e-05 × 6371000     		dr = 74.1584400005764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.22718463-1.22728050) × cos(-1.44908088) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.121415140703967 × 6371000     		do = 74.1588830348105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.22718463-1.22728050) × cos(-1.44909252) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.121403586810612 × 6371000     		du = 74.1518260580538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44908088)-sin(-1.44909252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.121415140703967-0.121403586810612)×R²
    abs(1.22728050-1.22718463)×1.15538933544157e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.15538933544157e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.15538933544157e-05×40589641000000     		ar = 5499.2454112563m²