Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45569 / 12801
↖ ↑ ↗
← N 73.225114°
E 70.317993°		 ← 176.30 m → N 73.225114°
E 70.323486°		 →
↑
176.29 m
↓
↑
176.29 m
↓
N 73.223529°
E 70.317993°		 ← 176.32 m →
31 080 m²		 N 73.223529°
E 70.323486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.695335388183594 y=0.195335388183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.695335388183594 × 216)
    floor (0.695335388183594 × 65536)
    floor (45569.5)     		tx = 45569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195335388183594 × 216)
    floor (0.195335388183594 × 65536)
    floor (12801.5)     		ty = 12801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45569 / 12801 ti = "16/45569/12801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45569/12801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45569 ÷ 216
    45569 ÷ 65536     		x = 0.695327758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12801 ÷ 216
    12801 ÷ 65536     		y = 0.195327758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.695327758789062 × 2 - 1) × π
    0.390655517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.22728050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.195327758789062 × 2 - 1) × π
    0.609344482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.91431214942732
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.22728050} λ = 1.22728050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91431214942732))-π/2
    2×atan(6.78227200247372)-π/2
    2×1.42440783385944-π/2
    2.84881566771888-1.57079632675     		φ = 1.27801934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.22728050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 70.317993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27801934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.225114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45569 KachelY 12801 1.22728050 1.27801934 70.317993 73.225114
    Oben rechts KachelX + 1 45570 KachelY 12801 1.22737638 1.27801934 70.323486 73.225114
    Unten links KachelX 45569 KachelY + 1 12802 1.22728050 1.27799167 70.317993 73.223529
    Unten rechts KachelX + 1 45570 KachelY + 1 12802 1.22737638 1.27799167 70.323486 73.223529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27801934-1.27799167) × R
    2.76699999999241e-05 × 6371000     		dl = 176.285569999517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27801934-1.27799167) × R
    2.76699999999241e-05 × 6371000     		dr = 176.285569999517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.22728050-1.22737638) × cos(1.27801934) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.288612149691429 × 6371000     		do = 176.299158784875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.22728050-1.22737638) × cos(1.27799167) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.288638642114421 × 6371000     		du = 176.315341720669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27801934)-sin(1.27799167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.288612149691429-0.288638642114421)×R²
    abs(1.22737638-1.22728050)×2.64924229923524e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.64924229923524e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.64924229923524e-05×40589641000000     		ar = 31080.4241077819m²