Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 457 / 199
↖ ↑ ↗
← N 37.160316°
E141.328125°		 ← 62.309 km → N 37.160316°
E142.031250°		 →
↑
62.539 km
↓
↑
62.539 km
↓
N 36.597889°
E141.328125°		 ← 62.769 km →
3 911.15 km²		 N 36.597889°
E142.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8935546875 y=0.3896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8935546875 × 29)
    floor (0.8935546875 × 512)
    floor (457.5)     		tx = 457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3896484375 × 29)
    floor (0.3896484375 × 512)
    floor (199.5)     		ty = 199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 457 / 199 ti = "9/457/199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/457/199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 457 ÷ 29
    457 ÷ 512     		x = 0.892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 199 ÷ 29
    199 ÷ 512     		y = 0.388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.892578125 × 2 - 1) × π
    0.78515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.46664111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.388671875 × 2 - 1) × π
    0.22265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.699495239255859
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.46664111} λ = 2.46664111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.699495239255859))-π/2
    2×atan(2.01273650064757)-π/2
    2×1.10968310080142-π/2
    2.21936620160285-1.57079632675     		φ = 0.64856987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.46664111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 141.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.64856987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 37.160316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 457 KachelY 199 2.46664111 0.64856987 141.328125 37.160316
    Oben rechts KachelX + 1 458 KachelY 199 2.47891295 0.64856987 142.031250 37.160316
    Unten links KachelX 457 KachelY + 1 200 2.46664111 0.63875366 141.328125 36.597889
    Unten rechts KachelX + 1 458 KachelY + 1 200 2.47891295 0.63875366 142.031250 36.597889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.64856987-0.63875366) × R
    0.00981620999999999 × 6371000     		dl = 62539.0739099999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.64856987-0.63875366) × R
    0.00981620999999999 × 6371000     		dr = 62539.0739099999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.46664111-2.47891295) × cos(0.64856987) × R
    0.0122718399999999 × 0.796948479384723 × 6371000     		do = 62308.534351826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.46664111-2.47891295) × cos(0.63875366) × R
    0.0122718399999999 × 0.802839443284969 × 6371000     		du = 62769.112840949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.64856987)-sin(0.63875366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.796948479384723-0.802839443284969)×R²
    abs(2.47891295-2.46664111)×0.00589096390024635×R²
    0.0122718399999999×0.00589096390024635×6371000²
    0.0122718399999999×0.00589096390024635×40589641000000     		ar = 3911151517.07725m²