Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4576 / 4576
↖ ↑ ↗
← S 20.632784°
E 21.093750°		 ← 4 573.06 m → S 20.632784°
E 21.137695°		 →
↑
4 572.47 m
↓
↑
4 572.47 m
↓
S 20.673905°
E 21.093750°		 ← 4 571.83 m →
20 907 356 m²		 S 20.673905°
E 21.137695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55865478515625 y=0.55865478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55865478515625 × 213)
    floor (0.55865478515625 × 8192)
    floor (4576.5)     		tx = 4576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.55865478515625 × 213)
    floor (0.55865478515625 × 8192)
    floor (4576.5)     		ty = 4576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4576 / 4576 ti = "13/4576/4576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4576/4576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4576 ÷ 213
    4576 ÷ 8192     		x = 0.55859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4576 ÷ 213
    4576 ÷ 8192     		y = 0.55859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55859375 × 2 - 1) × π
    0.1171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36815539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55859375 × 2 - 1) × π
    -0.1171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.368155389082031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36815539} λ = 0.36815539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.368155389082031))-π/2
    2×atan(0.692009642590627)-π/2
    2×0.605343153890922-π/2
    1.21068630778184-1.57079632675     		φ = -0.36011002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36815539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36011002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.632784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4576 KachelY 4576 0.36815539 -0.36011002 21.093750 -20.632784
    Oben rechts KachelX + 1 4577 KachelY 4576 0.36892238 -0.36011002 21.137695 -20.632784
    Unten links KachelX 4576 KachelY + 1 4577 0.36815539 -0.36082772 21.093750 -20.673905
    Unten rechts KachelX + 1 4577 KachelY + 1 4577 0.36892238 -0.36082772 21.137695 -20.673905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36011002--0.36082772) × R
    0.000717700000000043 × 6371000     		dl = 4572.46670000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36011002--0.36082772) × R
    0.000717700000000043 × 6371000     		dr = 4572.46670000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36815539-0.36892238) × cos(-0.36011002) × R
    0.000766989999999967 × 0.935858060802633 × 6371000     		do = 4573.06413450428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36815539-0.36892238) × cos(-0.36082772) × R
    0.000766989999999967 × 0.935604918681879 × 6371000     		du = 4571.82715722981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36011002)-sin(-0.36082772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935858060802633-0.935604918681879)×R²
    abs(0.36892238-0.36815539)×0.00025314212075378×R²
    0.000766989999999967×0.00025314212075378×6371000²
    0.000766989999999967×0.00025314212075378×40589641000000     		ar = 20907356.3507245m²