Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 458 / 202
↖ ↑ ↗
← N 35.460670°
E142.031250°		 ← 63.682 km → N 35.460670°
E142.734375°		 →
↑
63.908 km
↓
↑
63.908 km
↓
N 34.885931°
E142.031250°		 ← 64.134 km →
4 084.26 km²		 N 34.885931°
E142.734375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8955078125 y=0.3955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8955078125 × 29)
    floor (0.8955078125 × 512)
    floor (458.5)     		tx = 458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3955078125 × 29)
    floor (0.3955078125 × 512)
    floor (202.5)     		ty = 202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 458 / 202 ti = "9/458/202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/458/202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 458 ÷ 29
    458 ÷ 512     		x = 0.89453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 202 ÷ 29
    202 ÷ 512     		y = 0.39453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.89453125 × 2 - 1) × π
    0.7890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.47891295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.39453125 × 2 - 1) × π
    0.2109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.662679700347656
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.47891295} λ = 2.47891295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.662679700347656))-π/2
    2×atan(1.93998395097488)-π/2
    2×1.09485088619804-π/2
    2.18970177239608-1.57079632675     		φ = 0.61890545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.47891295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 142.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.61890545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 35.460670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 458 KachelY 202 2.47891295 0.61890545 142.031250 35.460670
    Oben rechts KachelX + 1 459 KachelY 202 2.49118480 0.61890545 142.734375 35.460670
    Unten links KachelX 458 KachelY + 1 203 2.47891295 0.60887436 142.031250 34.885931
    Unten rechts KachelX + 1 459 KachelY + 1 203 2.49118480 0.60887436 142.734375 34.885931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.61890545-0.60887436) × R
    0.01003109 × 6371000     		dl = 63908.0743900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.61890545-0.60887436) × R
    0.01003109 × 6371000     		dr = 63908.0743900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.47891295-2.49118480) × cos(0.61890545) × R
    0.0122718500000003 × 0.81451394104121 × 6371000     		do = 63681.922412834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.47891295-2.49118480) × cos(0.60887436) × R
    0.0122718500000003 × 0.82029234096332 × 6371000     		du = 64133.7005801171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.61890545)-sin(0.60887436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.81451394104121-0.82029234096332)×R²
    abs(2.49118480-2.47891295)×0.00577839992210982×R²
    0.0122718500000003×0.00577839992210982×6371000²
    0.0122718500000003×0.00577839992210982×40589641000000     		ar = 4084259418.73316m²