Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4592 / 4592
↖ ↑ ↗
← S 21.289374°
E 21.796875°		 ← 4 553.03 m → S 21.289374°
E 21.840821°		 →
↑
4 552.40 m
↓
↑
4 552.40 m
↓
S 21.330315°
E 21.796875°		 ← 4 551.76 m →
20 724 327 m²		 S 21.330315°
E 21.840821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56060791015625 y=0.56060791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56060791015625 × 213)
    floor (0.56060791015625 × 8192)
    floor (4592.5)     		tx = 4592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.56060791015625 × 213)
    floor (0.56060791015625 × 8192)
    floor (4592.5)     		ty = 4592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4592 / 4592 ti = "13/4592/4592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4592/4592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4592 ÷ 213
    4592 ÷ 8192     		x = 0.560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4592 ÷ 213
    4592 ÷ 8192     		y = 0.560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560546875 × 2 - 1) × π
    0.12109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.38042724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.560546875 × 2 - 1) × π
    -0.12109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.380427235384766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38042724} λ = 0.38042724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.380427235384766))-π/2
    2×atan(0.683569301823814)-π/2
    2×0.599613324302808-π/2
    1.19922664860562-1.57079632675     		φ = -0.37156968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38042724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.796875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37156968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.289374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4592 KachelY 4592 0.38042724 -0.37156968 21.796875 -21.289374
    Oben rechts KachelX + 1 4593 KachelY 4592 0.38119423 -0.37156968 21.840821 -21.289374
    Unten links KachelX 4592 KachelY + 1 4593 0.38042724 -0.37228423 21.796875 -21.330315
    Unten rechts KachelX + 1 4593 KachelY + 1 4593 0.38119423 -0.37228423 21.840821 -21.330315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37156968--0.37228423) × R
    0.00071454999999998 × 6371000     		dl = 4552.39804999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37156968--0.37228423) × R
    0.00071454999999998 × 6371000     		dr = 4552.39804999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38042724-0.38119423) × cos(-0.37156968) × R
    0.000766990000000023 × 0.931758576749633 × 6371000     		do = 4553.03203318717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38042724-0.38119423) × cos(-0.37228423) × R
    0.000766990000000023 × 0.931498901201934 × 6371000     		du = 4551.76313036576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37156968)-sin(-0.37228423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931758576749633-0.931498901201934)×R²
    abs(0.38119423-0.38042724)×0.000259675547698457×R²
    0.000766990000000023×0.000259675547698457×6371000²
    0.000766990000000023×0.000259675547698457×40589641000000     		ar = 20724326.7558913m²