Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 46 / 110
↖ ↑ ↗
← S 78.061989°
W 50.625000°		 ← 64.690 km → S 78.061989°
W 47.812500°		 →
↑
63.161 km
↓
↑
63.161 km
↓
S 78.630006°
W 50.625000°		 ← 61.654 km →
3 990.02 km²		 S 78.630006°
W 47.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.36328125 y=0.86328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.36328125 × 27)
    floor (0.36328125 × 128)
    floor (46.5)     		tx = 46
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.86328125 × 27)
    floor (0.86328125 × 128)
    floor (110.5)     		ty = 110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 46 / 110 ti = "7/46/110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/46/110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46 ÷ 27
    46 ÷ 128     		x = 0.359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 110 ÷ 27
    110 ÷ 128     		y = 0.859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359375 × 2 - 1) × π
    -0.28125 × 3.1415926535     		Λ = -0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.859375 × 2 - 1) × π
    -0.71875 × 3.1415926535     		Φ = -2.25801971970313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88357293} λ = -0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.25801971970313))-π/2
    2×atan(0.104557332704558)-π/2
    2×0.104178797422412-π/2
    0.208357594844824-1.57079632675     		φ = -1.36243873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.36243873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -78.061989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46 KachelY 110 -0.88357293 -1.36243873 -50.625000 -78.061989
    Oben rechts KachelX + 1 47 KachelY 110 -0.83448555 -1.36243873 -47.812500 -78.061989
    Unten links KachelX 46 KachelY + 1 111 -0.88357293 -1.37235249 -50.625000 -78.630006
    Unten rechts KachelX + 1 47 KachelY + 1 111 -0.83448555 -1.37235249 -47.812500 -78.630006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.36243873--1.37235249) × R
    0.00991375999999988 × 6371000     		dl = 63160.5649599993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.36243873--1.37235249) × R
    0.00991375999999988 × 6371000     		dr = 63160.5649599993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88357293--0.83448555) × cos(-1.36243873) × R
    0.04908738 × 0.206853298300232 × 6371000     		do = 64690.4106233883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88357293--0.83448555) × cos(-1.37235249) × R
    0.04908738 × 0.197143947310492 × 6371000     		du = 61653.9499646791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.36243873)-sin(-1.37235249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206853298300232-0.197143947310492)×R²
    abs(-0.83448555--0.88357293)×0.00970935098974024×R²
    0.04908738×0.00970935098974024×6371000²
    0.04908738×0.00970935098974024×40589641000000     		ar = 3990023276.34719m²