Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4607 / 4607
↖ ↑ ↗
← S 21.902278°
E 22.456055°		 ← 4 533.79 m → S 21.902278°
E 22.500000°		 →
↑
4 533.16 m
↓
↑
4 533.16 m
↓
S 21.943045°
E 22.456055°		 ← 4 532.50 m →
20 549 458 m²		 S 21.943045°
E 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56243896484375 y=0.56243896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56243896484375 × 213)
    floor (0.56243896484375 × 8192)
    floor (4607.5)     		tx = 4607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.56243896484375 × 213)
    floor (0.56243896484375 × 8192)
    floor (4607.5)     		ty = 4607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4607 / 4607 ti = "13/4607/4607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4607/4607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4607 ÷ 213
    4607 ÷ 8192     		x = 0.5623779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4607 ÷ 213
    4607 ÷ 8192     		y = 0.5623779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5623779296875 × 2 - 1) × π
    0.124755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39193209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5623779296875 × 2 - 1) × π
    -0.124755859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.391932091293579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39193209} λ = 0.39193209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.391932091293579))-π/2
    2×atan(0.675750001711)-π/2
    2×0.594264731299957-π/2
    1.18852946259991-1.57079632675     		φ = -0.38226686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39193209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.456055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38226686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.902278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4607 KachelY 4607 0.39193209 -0.38226686 22.456055 -21.902278
    Oben rechts KachelX + 1 4608 KachelY 4607 0.39269908 -0.38226686 22.500000 -21.902278
    Unten links KachelX 4607 KachelY + 1 4608 0.39193209 -0.38297839 22.456055 -21.943045
    Unten rechts KachelX + 1 4608 KachelY + 1 4608 0.39269908 -0.38297839 22.500000 -21.943045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38226686--0.38297839) × R
    0.000711530000000016 × 6371000     		dl = 4533.1576300001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38226686--0.38297839) × R
    0.000711530000000016 × 6371000     		dr = 4533.1576300001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39193209-0.39269908) × cos(-0.38226686) × R
    0.000766989999999967 × 0.927821425479114 × 6371000     		do = 4533.79316992173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39193209-0.39269908) × cos(-0.38297839) × R
    0.000766989999999967 × 0.927555772393619 × 6371000     		du = 4532.495057902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38226686)-sin(-0.38297839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927821425479114-0.927555772393619)×R²
    abs(0.39269908-0.39193209)×0.000265653085494311×R²
    0.000766989999999967×0.000265653085494311×6371000²
    0.000766989999999967×0.000265653085494311×40589641000000     		ar = 20549457.6948416m²