Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4609 / 4609
↖ ↑ ↗
← S 21.983802°
E 22.543945°		 ← 4 531.20 m → S 21.983802°
E 22.587890°		 →
↑
4 530.55 m
↓
↑
4 530.55 m
↓
S 22.024546°
E 22.543945°		 ← 4 529.89 m →
20 525 837 m²		 S 22.024546°
E 22.587890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56268310546875 y=0.56268310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56268310546875 × 213)
    floor (0.56268310546875 × 8192)
    floor (4609.5)     		tx = 4609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.56268310546875 × 213)
    floor (0.56268310546875 × 8192)
    floor (4609.5)     		ty = 4609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4609 / 4609 ti = "13/4609/4609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4609/4609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4609 ÷ 213
    4609 ÷ 8192     		x = 0.5626220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4609 ÷ 213
    4609 ÷ 8192     		y = 0.5626220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5626220703125 × 2 - 1) × π
    0.125244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39346607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5626220703125 × 2 - 1) × π
    -0.125244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.393466072081421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39346607} λ = 0.39346607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.393466072081421))-π/2
    2×atan(0.674714208837285)-π/2
    2×0.593553304983683-π/2
    1.18710660996737-1.57079632675     		φ = -0.38368972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39346607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.543945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38368972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.983802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4609 KachelY 4609 0.39346607 -0.38368972 22.543945 -21.983802
    Oben rechts KachelX + 1 4610 KachelY 4609 0.39423306 -0.38368972 22.587890 -21.983802
    Unten links KachelX 4609 KachelY + 1 4610 0.39346607 -0.38440084 22.543945 -22.024546
    Unten rechts KachelX + 1 4610 KachelY + 1 4610 0.39423306 -0.38440084 22.587890 -22.024546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38368972--0.38440084) × R
    0.00071112000000001 × 6371000     		dl = 4530.54552000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38368972--0.38440084) × R
    0.00071112000000001 × 6371000     		dr = 4530.54552000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39346607-0.39423306) × cos(-0.38368972) × R
    0.000766990000000023 × 0.927289724578809 × 6371000     		do = 4531.19501704044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39346607-0.39423306) × cos(-0.38440084) × R
    0.000766990000000023 × 0.927023286315161 × 6371000     		du = 4529.89306825292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38368972)-sin(-0.38440084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927289724578809-0.927023286315161)×R²
    abs(0.39423306-0.39346607)×0.000266438263648028×R²
    0.000766990000000023×0.000266438263648028×6371000²
    0.000766990000000023×0.000266438263648028×40589641000000     		ar = 20525836.8805541m²