Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4610 / 514
↖ ↑ ↗
← N 82.665072°
E 22.587890°		 ← 623.85 m → N 82.665072°
E 22.631836°		 →
↑
624.10 m
↓
↑
624.10 m
↓
N 82.659460°
E 22.587890°		 ← 624.33 m →
389 498 m²		 N 82.659460°
E 22.631836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56280517578125 y=0.06280517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56280517578125 × 213)
    floor (0.56280517578125 × 8192)
    floor (4610.5)     		tx = 4610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.06280517578125 × 213)
    floor (0.06280517578125 × 8192)
    floor (514.5)     		ty = 514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4610 / 514 ti = "13/4610/514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4610/514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4610 ÷ 213
    4610 ÷ 8192     		x = 0.562744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 514 ÷ 213
    514 ÷ 8192     		y = 0.062744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562744140625 × 2 - 1) × π
    0.12548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39423306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.062744140625 × 2 - 1) × π
    0.87451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.74735959102466
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39423306} λ = 0.39423306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.74735959102466))-π/2
    2×atan(15.6013834189367)-π/2
    2×1.50678700985745-π/2
    3.01357401971491-1.57079632675     		φ = 1.44277769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39423306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.587890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44277769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.665072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4610 KachelY 514 0.39423306 1.44277769 22.587890 82.665072
    Oben rechts KachelX + 1 4611 KachelY 514 0.39500005 1.44277769 22.631836 82.665072
    Unten links KachelX 4610 KachelY + 1 515 0.39423306 1.44267973 22.587890 82.659460
    Unten rechts KachelX + 1 4611 KachelY + 1 515 0.39500005 1.44267973 22.631836 82.659460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44277769-1.44267973) × R
    9.79599999999525e-05 × 6371000     		dl = 624.103159999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44277769-1.44267973) × R
    9.79599999999525e-05 × 6371000     		dr = 624.103159999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39423306-0.39500005) × cos(1.44277769) × R
    0.000766989999999967 × 0.127669245194587 × 6371000     		do = 623.854909982689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39423306-0.39500005) × cos(1.44267973) × R
    0.000766989999999967 × 0.127766402955546 × 6371000     		du = 624.329670729687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44277769)-sin(1.44267973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127669245194587-0.127766402955546)×R²
    abs(0.39500005-0.39423306)×9.71577609592267e-05×R²
    0.000766989999999967×9.71577609592267e-05×6371000²
    0.000766989999999967×9.71577609592267e-05×40589641000000     		ar = 389497.970852749m²